2.3 三维MT矢量有限元分析
2.3.1 网格剖分
有限元法是求解工程问题的一种近似数值方法, 近年来在工程领域中得到了广泛的应用。这种技术的应用依赖于对区域的离散, 即对连续体进行离散化, 这是数值解得到应用的关键。这种离散提供了几何简化单元集合作为整个复杂区域的近似。为使离散出的网格能更精确地逼近连续区域和有限元的结果在预定的误差范围内, 应保证离散化后得到质量较高的网格, 为此, 提出了许多方法来生成有限元网格。相比于四面体网格单元, 六面体单元, 特别是协调六面体单元, 因为其以下优点而得到广泛的关注: ①六面体单元可以给形函数提供附加的项, 以提高解的精度; ②可以在不失去精度的情况下, 提供直接的尺寸; ③六面体网格可以降低整体单元的数量。大多数现在使用的六面体网格生成算法存在一定程度上的局限性, 即它们只能应用于某类几何体(区域)。
在保证计算精度的前提下, 考虑到实现的方便采用结构化的六面体单元对模型进行剖分, 针对结构化的六面体三维模型选择双线性插值。这样选择主要是考虑到电磁场水平分量的连续性, 采用六面体单元能够取得更高的精度, 同时也有利于计算机编程实现。
坐标系取为如图2-3中所示的一样, 向右为x轴正方向, 向前为y轴正方向, 向下为z轴正方向。为了模拟的需要应该对中心区域等距离剖分或者取较小的剖分尺寸进行剖分, 远处可适当加大剖分单元的尺寸。
2.3.2 三维矢量形函数
将积分区域用六面体单元对计算区域进行离散所形成的网格为结构网格, 虽然不能模拟任意的三维空间。但由于它的基函数模型简单, 易于理解, 且操作容易, 应用这种基函数对一些规则目标进行分析, 仍不失为一种较好选择。
考虑图2-4所示的矩形块单元, 它在x, y, z方向的边长分别记为a、 b和c, 其中心坐标为(xec, yec, zec)。通过分配切向场分量给单元的每一条边, 单元内x, y, z三个方向上场分量可分别表示为:
