1.1.4 矢量有限单元法
关于矢量有限元的研究应用是一个较新的课题, 国内外的研究主要是集中在波导结构分析、 腔体散射和贴片天线辐射问题的分析当中。1957年, Whitney最早提出了棱边元的构想, 但直到20世纪80年代初期, Bossavit等将四面体棱边元应用于三维涡流问题, 1987年, Barton和Cendes将四面体棱边元首次应用于三维磁场计算才揭开了基于棱边的有限元方法在电磁问题中应用的序幕。从20世纪90年代开始, Jianming Jin和Volakis等人应用Edge-based FEM与其他求解技术相结合的混合方法, 分析了一系列电磁散射与辐射问题。1990年, Sakiyama和 Kotera 等人利用矢量有限单元法分析了电磁散射模型。Inoue和Koshiba利用了矢量有限单元法研究了不连续波导的电磁特性。1995年, Lee详细地研究了矢量有限单元法在电磁散射问题中的应用。在国内, 矢量有限元的研究工作大多集中在波导和谐振腔方面的研究。徐善驾、 周乐柱等学者在矢量有限元的应用和高次棱边元的研究方面也取得了许多成果。1994年, 饶明忠、 谭邦定和黄键研究了矢量有限元在工程涡流场计算中的应用。徐金平、 丁卫平(2003)对电磁散射与辐射问题中基于矢量有限元的混合方法进行了研究。聂在平、 班永灵(2006)研究了高阶矢量有限元方法在三维电磁散射与辐射中的应用问题。所有的这些工作基本上都与电磁散射和辐射相关。
在地球物理领域, 尤其是在电(磁)法领域, 矢量有限元的研究还很薄弱, 就目前检索到的文献而言, 阎述(2003)研究了基于矢量有限元的可控源音频大地电磁法的正演问题。Xueming Shi等人(2004)研究了结合散度校正的三维大地电磁矢量有限元模拟, 随后, 韩国学者Myung Jin Nam, Hee Joon Kim等人于2007年在Geophysical Prospecting上发表了一篇关于利用矢量有限元进行三维大地电磁正演模拟的文章。国内的王绪本和毛立峰(2006)对井-地交流电法的矢量有限元三维正演问题进行了研究。孙向阳、 聂在平和赵延文等人(2008)用矢量有限元方法模拟了随钻测井仪在倾斜各向异性地层中的电磁响应。王烨(2008)用矢量有限元对高频大地电磁法进行了三维数值模拟。
总的来说, 这几种数值模拟方法在地球物理正演模拟方面都有一定的优势和不足。 有限差分法的优点在于方法简便易算, 缺点是当物性参数复杂分布或场域的几何特征不规则时, 适应性比较差。有限单元法与上述方法相比具有推导过程简单, 适合处理复杂的几何形状, 灵活和适应性强等特点, 但它的计算量庞大, 耗费的计算时间较多。基于边的矢量有限元具有一些传统节点有限元无法比拟的优点, 不仅避免了伪解的出现, 而且能很容易加载介质的边界条件。但该方法在处理矢量电磁场问题中仍有其不足, 由于矢量基函数沿单元棱边方向取值恒定, 沿棱边法向是线性插值, 这限制了基函数模拟实际电磁场的插值精度。
1.1.5 自适应有限单元法
自适应有限元最早始于20世纪70年代。Oliveria于1971年通过极小能量利用最优节点分布讨论了网格优化问题, 所提出的网格重分布方法成为移动节点法的基础。20世纪70年代中期, Oliveria进一步创造性地提出在应变能密度变化最大的区域加密网格或增加插值函数的高阶自由度, 开创了最优离散化的研究。20世纪70年代后期, Peano提出用叠层细分构造混合阶插值, 给出了非常有用的叠层p-型单元族。20世纪80年代, Zienkiewicz等在此基础之上通过实例研究了h、 p组合法的精度和有效性问题。20世纪90年代, Oden等也进一步研究了p-改进和h-加密的组合方法, 旨在以最少的参数达到最高的精度。Mark Ainsworth对有限元的后验误差做了综合的探讨, 分别给出了椭圆边值问题的基于残值和基于梯度的后验误差, 为自适应有限元后验误差的计算奠定了坚实的理论基础。Zienkiewicz等人在误差估计方面做了大量富有成效的工作。他们提出通过局部应力场的节点插值或最小二乘拟合求取非连续有限元应力场的平滑应力, 并由能量范数度量的两应力场间的差值表示离散误差。Ainosworth 等曾证明了此法的有效性, 这一有效方法已被人们所广泛采用。进入21世纪, 对于自适应有限元的研究愈加广泛, Vera Nübel等提出了塑性全量理论的rp自适应有限元策略, 并且能够达到指数级的收敛速度。Stephan等将hp自适应有限元和边界元耦合的方法用于时谐形式的麦克斯韦方程组的求解。近年来, 随着并行计算研究的深入, 基于C++面向过程的并行自适应有限元算法和软件的开发也有了新的进展。2005年以来, Demkowicz与Rachowicz等人开展了稳定电流场及电磁场的hp型自适应有限元算法研究, 对石油勘探中的直流电测井模型进行了数值计算, 得出了高精度的视电阻率结果。Key (2006)开展了大地电磁二维模型的自适应有限元计算, Li(2006)给出了海底可控源电磁法二维模型的初步计算结果, 三维电磁场的自适应有限元模拟还未见文献报道。
国内学者也投入了大量的时间与精力研究传统有限元法在各种工程计算中的理论与实际应用, 取得了显著成果。但对于自适应有限元的研究则起步相对较晚, 只有一些在工程计算方面的应用。陈志明等对椭圆变分不等式和连续铸钢模型等非线性问题的后验误差分析和自适应进行了系统和深入研究, 取得了突破性进展。杜强对Delaunay网格生成算法进行了大量的探讨, 为自适应网格剖分奠定了理论基础, 并且形成了网格生成的软件包。黄云清、 陈传淼、 朱启定对有限元高精度理论和多重网格算法做了深入的研究, 张智民对后验误差进行了深入的探讨。大多学者都是在各自领域进行了一些研究, 没有形成一套用自适应有限元求解的普适性的软件。目前应用自适应有限元方法求解资源勘探和材料科学等领域复杂问题的关键技术亟待解决。
