十六 清代学者整理旧学之总成绩（四）
——历算学及其他科学 乐曲学
十 历算学及其他科学
历算学在清学界占极重要位置，不容予不说明。然吾属稿至此，乃极惶悚极忸怩，盖吾于此学绝无所知，万不敢强作解事，而本书体例，又不许我自藏其拙。吾唯竭吾才以求尽吾介绍之责。吾深知其必无当也，吾望世之通此学者不以我为不可教，切切实实指斥其漏阙谬误之点，俾他日得以校改自赎云尔。
历算学在中国发达盖甚早。六朝唐以来，学校以之课士，科举以之取士；学者于其理与法，殆童而习焉。宋元两朝名家辈出，斯学称盛。明代，心宗与文士交哄，凡百实学，悉见鄙夷，及其末叶，始生反动。入清，则学尚专门，万流骈进，历算一科，旧学新知，迭相摩荡，其所树立乃斐然矣。计自明末迄清末，斯学演进，略分五期：
第一期 明万历中叶迄清顺治初叶约三十年间，耶稣会士赍欧洲新法东来，中国少数学者以极恳挚极虚心的态度欢迎之，极忠实以从事翻译。同时旧派反抗颇烈，新派以不屈不挠之精神战胜之。其代表人物则为李凉庵之藻、徐元扈光启等。
第二期 清顺治中叶迄乾隆初叶约八十年间，将所输入之新法尽量消化，彻底理会；更进一步，融会贯通之，以求本国斯学之独立。其代表人物为王寅旭锡阐、梅定九文鼎等。
第三期 乾隆中叶以后迄嘉庆末约三四十年间，因求学问独立之结果，许多重要古算书皆复活，好古有识之学者，为之悉心整理校注。其代表人物则戴东原震、钱竹汀大昕、焦里堂循等。
第四期 嘉庆、道光、咸丰三朝约四五十年间，因古算书整理就绪之结果，引起许多创造发明，完成学问独立之业。其代表人物则汪孝婴莱、李四香锐、董方立祐诚、罗茗香士琳等。
第五期 同治初迄光绪中叶约三十年间，近代新法再输入，忠实翻译之业不让晚明。其代表人物为李壬叔善兰、华若汀蘅芳等。
第六期 光绪末迄今日，以过去历史推之，应为第二次消化会通发展独立之期。然而……
今吾将略述前五期之史迹。唯有一语先须声明者，历与算本相倚也，而三百年来斯学之兴，则假途于历而归宿于算。故吾所论述，在前两期历算并重，后三期则详算而略历焉。
晚明因天官失职，多年沿用之《大统历》，屡发见测算上之舛误，至万历末而朱载堉、邢云路先后抗言改历之必要。我国向以观象授时为国之大政，故朱、邢之论忽惹起朝野注意，历议大喧哄，而间接博得西欧科学之输入。
初，欧洲自“宗教革命”告成之后，罗马旧教团中一部分人为挽回颓势起见，发生自觉，于是有耶稣会之创设。会士皆当时科学知识最丰富之人，而其手段在发展势力于欧洲以外。于是利玛窦、庞迪我、熊三拔等先后来华，实为明万历天启时。中国人从之游且崇信其学者颇多，而李凉庵、徐元扈为称首。及改历议起，有周子愚者方为“五官正”钦天监属官，上书请召庞、熊等译西籍。万历四十年前后，凉庵与邢云路同以修历被征至京师。云路以己意损益古法，而凉庵专宗西术，新旧之争自此。崇祯二年，凉庵与元扈同拜督修新法之命。越二年，凉庵卒。又二年，元扈亦以病辞，荐李长德天经自代。天经一遵成规，矻矻事翻译，十年如一日，有名之《崇祯历书》百二十六卷，半由元扈手订，半由长德续成也。凉庵、元扈深知历学当以算学为基础，当未总历事以前，已先译算书。元扈首译欧几里得之《几何原本》六卷，欧人名著之入中国，此其第一。《几何原本》之成书，在元扈任历事前二十三年。自序谓“由显入微，从疑得信，盖不用为用，众用所基，真可谓万象之形囿，百家之学海”。盖承认欧人学问之有价值，实自兹始也。元扈又自为《勾股义》一卷。凉庵亦以半著半译的体裁，为《同文算指》十卷，《圜容较义》一卷。以上诸书，皆为当时言西算者所宗。
元扈总历事时，反对蜂起，最著者为魏文魁、冷守忠。元扈与李长德先后痛驳之，其焰始衰。《崇祯新历》经十余年制器实测之结果，泐为定本，将次颁行，而遭甲申之变，遂阁置。入清，以欧人汤若望掌钦天监，始因晚明已成之业而颁之。顺康之交，尚有杨光先者，纯狭排外的意气诋諆新法，著一书名曰《不得已书》，其后卒取汤若望之位而代之，旋以推步失实黜革，自是哄议始息矣。
元扈于崇祯四年上疏曰：“欲求起胜，必须会通；会通之前，先须翻译。……翻译既有端绪，然后令深知法意者，参详考定……”《明史》本传当时研究此学之步骤如此。元扈既逝，旋遭丧乱，未能依原定计划进行。王寅旭引此疏而论之曰：“……文定元扈谥之意，原欲因西法以求进也。文定既逝，继其事者案指李天经等仅能终翻译之绪，未遑及会通之法，甚至矜其师说，龁异己。……今西法盛行，向之异议者，亦诎而不复争矣。然以西法有验于今，可也。如谓为不易之法，无事求进，不可也。……”《历说一》盖李、徐之业，得半而止，未逮其志。所谓“会通以求超胜”，盖有俟于后起，而毅然以此自任者，则王寅旭、梅定九其人也。
阮芸台著《畴人传》，清儒之部，以王、梅为冠首，且论之曰：“王氏精而核，梅氏博而大，各造其极，难可轩轾。”谅哉言矣！寅旭自幼嗜测天，晴霁之夜，辄登屋卧鸱吻间，仰察星象，竟夕不寐；每遇日月蚀，辄以新旧诸法所推时日杪刻所蚀多寡实测之，数十年未尝一次放过。结果乃自为《晓庵新法》六卷，其自序既力斥魏文魁、陈壤、冷守忠辈之专己守残，推奖利、徐新法，然又谓西法有不知法意者五，当辨者十。其书则“会通若干事，考正若干事，表明若干事，增葺若干事”。其论治学方法，谓：“……当顺天以求合，不当为合以验天。法所以差，固必有致差之故；法所吻合，犹恐有偶合之嫌。”《历策》又云：“其合其违，虽可预信，而分杪远近之细，必屡经实测而后得知。合则审其偶合与确合，违则求其理违与数违，不敢苟焉以自欺而已。”《推步交朔序》又云：“……学之愈久而愈知其不及，入之弥深而弥知其难穷。……若仅能握觚而即以创法自命，师心任目，撰为卤莽之术以测天，约略一合，傲然自足，胸无古人，其庸妄不学未尝艰苦可知矣。”《测日小记序》读此可知寅旭之学，其趋重客观的考察为何如，又可知此派历算学，其影响于清代学风者为何如也。
定九年辈，稍后寅旭，而其学最渊博，其传亦最光大。所著《勿庵历算全书》，分四大部：法原部八种，法数部一种，历学部十五种，算学部六种，都凡三十种七十五卷。此外关于研究古历法之书尚十三种八十七卷。其书内容价值，非吾所敢妄评。顾吾以为定九对于斯学之贡献，最少亦有如下数点：
一、历学脱离占验迷信而超然独立于真正科学基础之上，自利、徐始启其绪，至定九乃确定。
二、历学之历史的研究——对于诸法为纯客观的比较批评，自定九始。
三、知历学非单纯的技术，而必须以数学为基础，将明末学者学历之兴味移到学算方面，自定九始。
四、因治西算而印证以古籍，知吾国亦有固有之算学，因极力提倡以求学问之独立，黄梨洲首倡此论，定九与彼不谋而合。
五、其所著述，除发表自己创见外，更取前人艰深之学理，演为平易浅近之小册，以力求斯学之普及。此事为大学者之所难能，而定九优为之。
王、梅流风所被，学者云起，江苏则有潘次耕耒、陈泗源厚耀、惠天牧士奇、孙滋九兰、顾震沧栋高、庄元仲亨阳、顾君源长发、屠莼洲文漪、丁维烈等；安徽则有方位伯中通、浦选正珠父子、江慎修永、余晋斋熙，及定九之弟和仲文鼐，尔素文鼏，定九之孙玉汝瑴成等。浙江则有徐圃臣发、吴任臣志伊，龚武仕士燕、陈言扬讦、王宋贤元启等；江西则有揭子宣暄、毛心易乾乾等；湖北则有刘允恭湘煃等；河南则有孔林宗兴泰、杜端甫知耕等；山东则有薛仪甫凤祚等；福建则有李晋卿光地、耜卿光坡兄弟等。其学风大率宗王、梅。而清圣祖亦笃嗜此学，其《御定历象考成》《御制数理精蕴》，裒然巨帙，为斯学增重，则陈泗源、李晋卿等参与最多云。
黄梨洲年辈略先于王、梅，然既以历学闻，有著述数种。梨洲亦信服利、徐新法之一人，然谓此法乃我国所固有。尝曰“周公、商高之术，中原失传而被篡于西人，试按其言以求之，汶阳之田可归也”。其言虽不脱自大之习，然唤起国人之自觉心亦不少。王、梅所企之“会通以求超胜”，其动机半亦由此。而清圣祖以西人借根方授梅玉汝，告以西人名此书为《阿尔热八达》，译言《东来法》，命玉汝推其所自，玉汝因考订为出于“天元一”。自是学者益知我国固有之算学，未可轻视矣。虽然，大算学书散佚殆尽，其存者亦传刻讹漏不可卒读，无以为研究之资。其搜辑整理之，则在四库馆开馆之后，而董其役者实为戴东原。
东原受学于江慎修，而尤服膺其历算。慎修笃信西法，往往并其短而护之，东原亦时所不免看钱竹汀与东原论岁实书。自其中年，即已成《原象》《历问》《历古考》《策算》《勾股割圜记》等书，为斯学极有价值之作品。及入四库馆，则子部天文算学类之提要，殆全出其手，而用力最勤者，则在辑校下列各种算书：
一、《周髀算经》汉赵爽注，北周甄鸾重述，唐李淳风释。此书旧有《津逮秘书》刻本，然讹脱甚多，东原据《永乐大典》详校，补脱字百四十七，正误字百十三，删衍字十八，补图二，自是此书始可读。
二、《九章算术》晋刘徽注，唐李淳风释，宋李籍音义。此书明时已佚，东原从《永乐大典》辑成九卷。此书后经李云门（潢）作《细草图说》九卷，东原所谓舛错不可通者，一一疏解之。
三、《孙子算经》不著撰人名氏。旧有甄鸾、李淳风注，皆亡。东原从《大典》中辑出正文。
四、《海岛算经》晋刘徽撰，唐李淳风注，久佚。从《大典》辑出。
五、《五曹算经》不著撰人名氏，刻本久佚，汲古阁有影钞宋本，讹舛不能成读。旧有甄鸾、韩延、李淳风诸家注，已不见，唯经文散在《大典》各条下。东原补缀钩稽，辑为五卷，极费苦心。
六、《五经算术》北周甄鸾撰，唐李淳风注。此书久无传本，唯散见《大典》中，割裂失次。东原循其义例，以各经之叙推之，辑成完书。
七、《夏侯阳算经》著者时代无考，旧有甄鸾、韩延注。传本久佚，唯《大典》有之，然割裂分附《九章算术》之下，紊其端绪。幸原书目尚符。东原悉心寻绎排比，还有旧观，为三卷十二门。
八、《张邱建算经》著者年代无考。甄、李注及刘孝孙细草。此书旧有汲古阁影钞宋椠，然讹舛不少。东原校正之，及为补五图，盖原书所无，而其理非图不明也。
九、《辑古算经》唐王孝通撰并自注。旧尚有李淳风注，已佚。此书亦毛氏藏本，东原校订，附加图说。此书后经李云门作考注，以《九章》释之；张古余作细草，以天元释之；皆多发明。
十、《数术记遗》旧题汉徐岳撰，周甄鸾注。东原亦校订之，但辨为唐以后伪书。
以上所列，不过校勘几部旧书，宜若与学界大势无甚关系。虽然，此诸书者久已埋没尘壒中，学者几不复知吾国自有此学。即有志研究者，亦几译书外无所凭借。自戴校诸书既成，官局以聚珍版印行，而曲阜孔氏复汇刻为《算经十书》，其移易国人观听者甚大。善夫阮文达之言曰：“九数为六艺之一，古之小学也。……后世言数者，或杂以太一、三式、占候、卦气之说，由是儒林实学，下与方技同科，是可慨也！（戴）庶常……网罗算氏，缀辑遗经，以绍前哲，用遗来学。盖自有戴氏，天下学者乃不敢轻言算数，而其道始尊。然则戴氏之功，又岂在宣城（梅氏）下哉！”《畴人传》四十二读阮氏此论，可以知戴氏在斯学之位置矣。
东原虽遍校古算经，然其自著历算书，则仍宗西法。其专以提倡中法闻者，则推钱竹汀。竹汀著《元史朔闰表》《三统木衍》《算经答问》等书，罗茗香推之甚至，谓“宣城犹逊彼一筹”《续畴人传》四十九，其言或稍过。虽然，自戴、钱二君以经学大师笃嗜历算，乾嘉以降，历算遂成经生副业，而专门算家，亦随之而出，其影响岂不巨哉！
前所列戴校《算经十书》皆唐代用以课士者。然数学实至宋元而极盛，其最有价值之著述则为下列三家四种：
一、宋秦道古九韶《数学九章》十八卷。
二、元李仁卿治《测圆海镜》附细草十二卷、《益古演段》三卷。
三、元朱汉卿世杰《四元玉鉴》三卷。
秦李两家所创为两派之“立天元一术”，朱氏所创为“四元术”。“天元”“四元”两术，则嘉道以后学者所殚精竭虑，阶是以求超胜于西人者也。四书中唯《测圆海镜》旧有传本，而已逸其细草，余三书则皆久佚。东原在四库馆，从《永乐大典》中辑录《九章》《演段》，及《海镜》之细草，三书始稍具面目，然精心雠校，实所未遑，故研习犹不易焉。东原校《海镜》，多臆删误解。尹菊圃（锡瓒）曾指斥之。《数学九章》，自钱竹汀极力提倡，秦敦夫恩复刻之，而顾千里广圻为之详校，其后沈侠侯钦裴及其弟子宋冕之景昌复据顾本精校，订正讹舛数十处，为之《札记》。自是道古之书始可读。《海镜》及《演段》，鲍渌饮廷博刻之，而李四香锐为之详校，自是仁卿之书始可读。独《四元玉鉴》《四库》既不著录，阮文达作《畴人传》时且未之见以传中无朱世杰知之。文达晚乃得其钞本，传抄寄四香。四香大喜，为作细草，未就而没。文达恫之，曰：“李君细草不成，遂无能读是书者矣。”《揅经室集·李锐传》道光中，罗茗香始为精校，并补作细草，自是汉卿之书亦人人可读，与秦李书等。此四书校注之业，其影响于后此算学之发展，视戴校诸书为尤巨。大抵天元学即秦李学大显于嘉庆中叶，而四元学即朱学复活于道光之初。二学明而中国算学独立之利器具矣。
乾嘉以后治算之人约可分三类：
第一类，台官。台官者，奉职于钦天监者也。历代台官，率多下驷，然台中资料多，仪器备，苟得其人，则发明亦较易为力。乾隆中则有监正明静庵安图，蒙古人。创“割圆密率捷法”，举世宗之。详下其弟子夏官正官名张良亭肱最能传其学。同时，监副博绘亭启，满洲人，能解勾股形中所容方边、圆径、垂线三事，创法六十。道光初，监正方慎葊履亨亦绩学有著述。同时博士钦天监博士陈静弇杰最精比例，著《算法大成》二十卷，最便初学。
第二类，经师。经师者，初非欲以算学名家，因治经或治史有待于学算，因以算为其副业者也。此派起于黄梨洲、惠天牧，而盛于钱竹汀、戴东原，其稍后则焦里堂、阮芸台。若顾震沧、程易畴、凌次仲、孔巽轩、钱溉亭、许周生、姚秋农、程春海、李申耆、俞理初辈，皆其人也。自余考证家，殆无一人不有算学上常识，殆一时风尚然矣。此辈经生——除戴、焦、孔外——大率藉算以解经史，于算学本身无甚发明。虽然，后此斯学大家，多出诸经师之门，如李尚之之学于竹汀，罗茗香之学于芸台，其最著者也。
第三类，专门算学家。专门算学家，自王、梅以后，中绝者垂百年，至嘉庆间始复活，道咸间乃极盛。复活初期之主要人物，则江都焦里堂、元和李四香、歙汪孝婴莱也，时号为“谈天三友”。三人始终共学，有所得则相告语，有所疑则相诘难，而其公共得力之处，则在读秦、李书而知“立天元一”为算家至精之术。四香校释《测圆海镜》《益古演段》，为仁卿之学拨开云雾；又与里堂几度讨论，知秦道古之《九章》为“大衍求一”中之又一派“天元”，秦书价值亦大明。里堂著《天元一释》《开方通释》等书，最能以浅显之文阐天元奥旨。孝婴则姿性英锐，最喜攻坚，必古人所未言者乃言之。三人中，焦尚经师副业，而汪、李则专家也。焦之评汪、李曰：“尚之四香善言古人所已言，而阐发得其真；孝婴善言古人所未言，而引申得其间。”两家学风可见矣。学风异而能合作，故于斯学贡献特多焉。而阳城张古余敦仁，上元谈阶平泰皆四香学友，于“天元”有所发明，四香弟子顺德黎见山应南尽传其师之学，且续成其书；里堂子虎玉廷琥亦治《演段》，能名家，嘉庆间专门家最著者，略如此。
道光初叶，秀水朱云陆鸿、阳湖董方立祐诚在京师以算学相友善。方立最绝特，所发明“割圜连比例率”，实斯界不刊之作见下，惜早夭未能尽其才。而甘泉罗茗香士琳、乌程徐君青有壬，仁和项梅侣名达皆老寿，道咸间称祭酒焉。茗香为阮芸台弟子，早岁已通天元，中岁得《四元玉鉴》，嗜之如性命，竭十二年之力，为之校，为之注，为之演细草二十四卷，复与同县学友易蓉湖之瀚为之释例。四元复见天日，自茗香始也。后此李壬叔译代数之书，始知“四元”即我国之代数，而其秘实启自茗香。君青缒幽凿险，学风酷似汪孝婴、董方立，发明“测圜密率”“椭圜求周术”“对数表简法”等见下；亦尝为《四元》步细草，闻茗香治此，乃中辍。梅侣与黎见山游，因接李四香之绪，著述甚富，今传者仅《勾股六术》一编。尝曰：“守中西成法，搬衍较量，畴人子弟优为之。所贵学数者，谓能推见本原，融会以通其变，竟古人未竟之绪，而发古人未发之藏耳。”晚年每谓古法无所用，不甚涉猎，而专意于平弧三角云。后此算家力求向上一步以从事发明，得梅侣暗示之力为多。三君之外，则元和沈侠侯钦裴之校《九章》，乌程陈静葊杰之为《缉古细草》，皆能有所树立者。
道光末迄咸、同之交，则钱塘戴鄂士煦、钱塘夏紫笙鸾翔、南海邹特夫伯奇、海宁李壬叔善兰，为斯学重镇。鄂士学早成，年辈稍后于罗茗香、项梅侣。罗、项折节以为忘年交。所著《求表捷术》，英人艾约瑟译之，刊《英伦算学公会杂志》，彼都学者叹为绝业。我国近人著述之有欧译，自戴书始也。紫笙为梅侣高弟，尽传其学。特夫崛起岭峤，而精锐无前，又善制器，诸名家皆敛手相推焉。壬叔早慧而老寿，自其弱冠时，已穷天元、四元之秘，斐然述作；中年以后，尽瘁译事，世共推为第二徐文定，遂以结有清一代算学之局。当是时，江浙间斯学极盛，金山顾尚之观光、长洲马远林钊、嘉定时清甫曰淳、兴化刘融斋熙载、乌程凌厚堂堃、张南坪福僖、南汇张啸山文虎，与徐、项、戴、李诸君先后作桴鼓应焉。江西亦有南丰吴子登嘉善，造诣不让时贤。而异军特起有声色者，莫如湖南、广东两省。湖南自新化邹叔绩汉勋首倡此学，长沙丁果臣取忠继之。果臣弟子有湘阴左壬叟潜，文襄从子也；湘乡曾栗纪鸿，文正子也，咸以贵介嗜学，能名其家。徐君青之为广东盐运使也，语人曰：“广东无知算者！”或以告番禺黎南溟汉鹏，南溟为难题难之，徐不能答。嘉应吴石华学算于南溟，遂尽传其学。已而出邹特夫，所造或为江左诸师所不及云。
清季承学之士，喜言西学为中国所固有，其言多牵强附会，徒长笼统嚣张之习，识者病焉。然近世矫其弊者，又曾不许人稍言会通，必欲挤祖国于未开之蛮民，谓其一无学问，然后为快。嘻！抑亦甚矣。人智不甚相远，苟积学焉，理无不可相及，顽固老辈之蔑视外国，与轻薄少年之蔑视本国，其误谬正相等。质而言之，蔽在不学而已。他勿具论，即如算术中之天元、四元，苟稍涉斯学之樊者，宁能强词斥之谓为无学问上之价值？又宁能谓此学非我所自有？清圣祖述西士之言，谓借根为“东来法”。英人伟烈亚力，与李壬叔同事译业者也，深通中国语言文字，能读古书，其所著《数学启蒙》第二卷有“开诸乘方捷法”一条，缀以按语云：“无论若干乘方，且无论带纵不带纵，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土为古法，在西土为新法，上下数千年，东西数万里，所造之法若合符节。信乎！此心此理同也。”夫伟力是否谰言，但用天元一试布算焉，立可决矣。竺旧之儒，必谓西法剽窃自我，如梨洲所谓“汶阳之田可复归”，诚为夸而无当。然心同理同之说，虽好自贬者亦岂能否认耶？是故如魏文魁、杨光先之流，未尝学问，徒争意气，吾辈固当引为大戒。乃若四香、茗香、壬叔诸贤，真所谓“旧学商量加邃密，新如涵养转深沈”，盖于旧学所入愈深，乃益以促其自觉之心，增其自壮之气，而完其独立发明之业，则温故不足以妨知新，抑甚明矣！而最损人神智者，实则在“随人脚跟，学人言语”，不务力学，专逐时谈之习耳。世之君子，宜何择焉？
清代算学，顺康间仅消化西法，乾隆初仅杂释经典。其确能独立有所发明者，实自乾隆中叶后，而嘉、道、咸、同为盛。推厥所由，则皆天元、四元两术之复活有以牖之。徐文定所谓“会通以求超胜”，盖实现于百余年后矣。今刺举其发明之可纪者如下：
一、明静庵安图之割圜密率捷法。梅玉汝《赤水遗珍》，载有西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，唯所以立法之原则秘而不宣。至汪孝婴疑其数为偶合。静庵积思三十年，创为此法与解，用连比例术，以半径为一率，设弧共分为二率：二率自乘，一率除之，得三率；以二率与三率相乘，一率除之，得四率。由是推之，三率自乘，一率除之，得五率。……虽至亿万率，胥如是。罗茗香评之曰：“西法之妙，莫捷于对数；对数之用，莫便于八线。……考对数之由来，亦起于连比例，又安知当日立八线表时，不暗用此法推算耶？”
二、孔巽轩之三乘方以上开方捷法及割圜四例。巽轩为戴东原高弟子，研究秦李之书，精通天元。梅定九著《少广拾遗》，云三乘方以上不能为图。巽轩独抒新意，取幂积变为方根，使诸乘皆可作平方观，制《诸乘方廉隅图》，俾学者知方广稠叠所由生。又立割圜四例，其说在明氏捷法未显之先，而间与暗合，所著书名《少广正负术内外篇》六卷。
三、李四香之《方程新术草》。因梅氏未见古《九章》，其所著《方程论》，囿于西学，致悖直除之旨，乃寻究古义，采索本根，变通简捷，以成新术。辨天元与借根之异同，梅玉汝言借根即天元，大致固不谬。四香更辨析天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减微异。发明开方正负定律。梅氏言开方，专宗《同文算指》《西镜录》之西法，初不知立方以上无不带纵之方。故所著《少广拾遗》，立开一乘方以至开十二乘方法，枝枝节节，窒碍难通。四香读秦道古书，阐明超步退商、正负加减、借一为阳诸法，为《开方说》三卷。
四、黎见山应南之求勾股率捷法。见山，四香弟子。此捷法乃推阐天元通分而成。任设奇偶两数，各自乘，相并为弦，相减为勾，或为股；副以两数相乘，倍之为股，或为勾。若任设大小两奇数或偶数，各自乘，则相并半之为勾，或为股，其两数相乘即为股，或为勾，所得勾股弦皆无零数。
五、汪孝婴之发明天元一正负开方之可知不可知。四香发明正负开方定律，少广之学大明。孝婴读秦李书，知有不可知之数，乃自二乘方以下推之得九十五条。其说与四香似立异，故当时有汪李齮龁之谣，焦里堂既辨之矣。四香后读其书而为之跋，括为三例以证明之，谓：偶实同名者不可知；偶实异名而从廉正负不杂者可知；偶实异名而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。又谓己所言“一答与不止一答”，与汪言之“可知不可知”，义实相通云。
六、董方立之发明割圜连比例术。此亦因杜德美之圆径求周术语焉不详，欲更创通法，使弦矢与弧可以径求。时明静庵之密率捷法未传于世。方立覃思独创，与明氏同归而殊涂，盖以圜容十八觚之术，引申类长，求其累积，实兼差分之列衰、商功之堆垛，而会通以尽勾股之变。自谓奇偶相生，出于自然，得此术而方圆之率通云。
七、徐君青之发明屡乘屡除的对数，对数表传自西人，云以屡次开方而得其数。君青以屡除屡乘法御之，得数巧合而省力百倍。研究测圜密率，以屡乘屡除法，递求正负诸差，而加减相并，便得所求。发明开圜求周术，椭圆求周，无法可驭。借平圜周求之，则有三术。项梅侣、戴鄂士各立一术。君青以椭周为圜周，求其经以求周，即为椭圜之周。最直捷。李壬叔谓其驾过西人远甚。发明造各表简法。君青以对数表等为用最大。惜创造之初，取径纡回，布算繁赜，不示人以简易之方，如八线对数表，至今无人知其立表之根，因读《四元玉鉴》，究心于垛积招差之法，推诸割圆诸术，无所不通。盖垛积者递加数也，招差者连比例也。合二术以施之割圜，六通四辟，而简易之法生焉。乃集杜德美、董方立、项梅侣、戴鄂士、李壬叔诸家之说而折衷之，简益求简，凡立五术。
八、戴鄂士之发明对数简法，其术在舍开方而求假设数；复有续编，专明对数根之理。徐君青为之序，谓与李壬叔《对数探原》同为不朽之业。发明外切密率，此亦割圜率中之一种。自杜、董递启割圜之秘，项梅侣、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢术而无切割术，李氏有其术而分母分子之源未经解释。鄂士谓弦矢与切割本可互为比例，……以比例所得之率数乘除法，乘除弧背，其求得之数，必仍为比例所得之切割。乃本此意以立术。发明假数测圆。专以负算阐对数，发前人未发之蕴。
九、邹特夫之发明乘方捷术。此亦研究对数之书，隐括董方立、戴鄂士之说，立开方四术。其于讷白尔表，以连比例乘除法，径开一无量数乘方以求之，又立求对数较四术以求之，亦用连比例一以贯之，立术最为简易。盖以徐君青、李壬叔之术，操数各殊，唯夏紫笙略近而更为精密云。创造对数尺。因对数表而变通之为算器，画数以两尺，相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数。补古格术。格术之名及其术之概略，仅见于宋沈括《梦溪笔谈》，后人读之亦莫能解。特夫知其即光学之理，更为布算以明之。以算学释物理自特夫始。
十、李壬叔之以尖锥驭对数。壬叔以尖锥立术，既著《方圆阐幽》《弧矢启秘》二书，复为《对数探源》，亦以尖锥截积起算，先明其理，次详其法。自序云：“……有正数万，求其逐一相对之对数，则虽欧罗巴造表之人仅能得其数，未能知其理也。间尝深思得之，叹其精微玄妙，且用以造表，较西人简易万倍，然后知言数者不可不先得夫理也。”壬叔著书在早年，其后与西士共译各书，益自信，乃著《对数尖锥变法释》，谓己所用为正法，西人所用乃变法，而其根则同云。推衍垛积术。谓垛积为少广一支，西人代数微分中所有级数，大半皆是。近人唯汪孝婴、董方立颇知其理，而法数未备，因特阐明之。
十一、顾尚之之和较相求对数八术。批评杜、董、项、戴及西人《数学启蒙》中之诸新术，以为皆未尽其理，乃别为变通，任意设数，立六术以御之，得数皆合，复立还原四术，卒乃推衍之为和较相求之八术。
十二、夏紫笙之创曲线新术。其书名《致曲术》，曰平圆，曰椭圆，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。皆于杜德美、项梅侣、戴鄂士、徐君青、罗密士（英人，著《代数微积拾级》者）诸术外自定新术，参互并列，法密理精，复有《致曲图解》说明之。创乘方捷术。以开各类乘方，通为摆术，可并求平方根数十位，不论益积翻积，俱为坦途，其书名《少广缒凿》。
上所举，不过在三部《畴人传》中阮元著初编，罗士琳续，诸可宝再续临时挦撦。我之学力，本不配讨论此学，其中漏略错误，定皆不少。但即循此以观大略，已可见此学在清代发展进步之程度为何如。以李四香、汪、明、董等推算之业视王、梅；以李四香、罗、张古余等校书补草之功视钱、戴；以徐、戴鄂士、邹、李壬叔等会通发明之绩视王、梅、李四香、汪，真有“积薪后来居上”之感。其后承以第二期西学之输入——即所谓19世纪新科学者，而当时国中学者所造，与彼相校，亦未遑多让。中国人对于科学之嗜好性及理解能力，亦何遽出欧人下耶？
吾叙述至此，惟忽有别的小感触，请附带一言。清代算学家多不寿，实吾学界一大不幸也。内中梅定九寿八十九，李壬叔寿七十，二老岿然绾一代终始，差足慰情。自余若焦里堂仅五十八，戴鄂士仅五十六，王寅旭、戴东原皆仅五十五；邹特夫仅五十一，邹叔绩仅四十九，马远林仅四十八，汪孝婴仅四十六，李四香、夏紫笙皆仅四十五。尤促者，熊韬之仅三十九，孔巽轩仅三十五，董方立仅三十三，左壬叟、曾栗卒年未详，大抵皆不逾四十。呜呼！岂兹事耗精太甚，易损天年耶？何见夺之速且多也。夫使巽轩、方立辈有定九寿，则所以嘉惠学界者宜何如哉？吾又感觉算学颇恃天才，故有早岁便能成家者。又洪杨之乱，学者多殉，而算家尤众。徐君青以封疆江苏巡抚死绥，固宜矣。乃若罗茗香、马远林、邹叔绩、戴鄂士、顾尚之、凌厚堂堃、张南坪福禧，皆先后及难。其余诸家遗著投灰烬者且不少。呜呼！丧乱之为文化厄，有如是也。
道光末叶英人艾约瑟、伟烈亚力先后东来。约瑟与张南坪、张啸山文虎、顾尚之最善，约为算友。伟烈则纳交于李壬叔，相与续利、徐之绪，首译《几何原本》后九卷，次译美之罗密士之《代微积拾级》，次译英人侯失勒约翰之《谈天》。其后壬叔又因南坪等识艾约瑟，与之共译英人胡威立之《重学》，又与韦廉臣共译某氏之《植物学》，19世纪欧洲科学之输入，自壬叔始也。乱事既定，曾文正设制造局于上海，中附属译书之科，以官力提倡之。时壬叔已老，在总理衙门为章京，不能亲译事，则华若汀蘅芳继之，与英人傅兰雅共译为多，所译有英人华里司之《代数术》《微积溯原》，海麻士之《三角数理》等。此外则徐虎臣建寅、赵仲涵元益等皆有所译述，然精审不逮李、华云。
晚清李、华译述之业，其忠实与辛勤不让晚明之徐、李，而所发生之影响则似远逊。李、徐译业，直接产生王、梅，能全部消化其所译受，更进而求本国学问之独立，因以引起三百年间斯学之发达。李、华译书时，老辈专精斯学者已成家数，译本不过供其参考品，不复能大有所进益，而后辈则浮鹜者多，不复专精斯诣。故求如王、梅其人者，直至今日，盖无闻焉。岂惟今日，恐更迟之若干年，亦犹是也。夫吾并非望举国人皆为算学家也。算学为最古之学，新发明甚难，不如他种科学之饶有发展余地，学者不甚嗜之，亦无足怪。虽然，算学为一切自然科学之基础，欲治科学，非于算有相当素养不能为功，昭昭然也。然环观今之青年，在学校中对于此科之兴味何衰落一至此甚也！学之数年，恐其所得素养比诸门外汉如我者所剩无几也，反不如百余年前专读“线装书”之老经生犹知以此学为重也。呜呼！此非一门学术兴废之小问题，实全部学风盛衰之大问题也。厌繁重而怠探索，功课为机械的授受，不复刻入以求心得，唯喜摭拾时趋的游谈以自欺欺世。如此，则凡百学术皆不能唤起真挚之兴味，岂惟算学？结果非将学问向上之路全付榛芜焉不止也。呜呼！今之青年，有闻乾、嘉、道间诸先辈之学风而知奋者耶？
邹特夫晚年有《论算家新法》一篇，其言曰：“自董方立以后，诸家极思生巧，出于前人之外，如华严楼阁，弹指即现，实抉算理之奥窔。然恐后之学者，不复循途守辙，而遽趋捷法，则得之易失之亦易，是可忧也。”吾涉读及此，而若有感于余心焉。昔人欲通晓一学也甚难，而所成就常实。无组织完善之著书，无简易之教授法，欲学者须从乱石荦荦、乱草蓬蓬中自觅新路而自辟之。故学焉者十人，其九人者恒一无所获，废然而返。即其一人有所获者，亦已费无量精力于无用之地，此其所为失也。虽然，不入之则已，既入则极深研究，其发明往往超拔凡近，此其所为得也。今人欲通晓一学也甚易，而所成就常虚。教科书及教授法，凡所以助长理解者唯恐不至，而取径唯恐不捷。中智之士，按部就班，毕业一课即了解一课，毕业一书即人解一书，人人可操券而获也。然与其书，与其师睽别不一二年，所学如梦矣。即不尔，而所得亦至肤浅末，罕复能以自立。说者谓今之教育，只能攀全社会“平庸化”，而杰出天才乃汨没摧抑而日澌灭，不其然耶？夫今日不能举教育法而尽返之于曩昔，不待言也。然特夫所谓“遽趋捷法，得之易而失之亦易”者，斯诚教育界不可忽视之问题。如何而能便青年于易知易从中，仍阅历甘苦，而求所学实有诸己，不可不熟思而折衷之也。吾有感于诸先辈之刻苦坚忍以完成学问独立之业，故附其说于此。
吾今当以叙述历算学之余，简带叙其他科学。各种科学，不唯不能各占一专章，并不能合而成一专章，而唯以历算学附庸之资格于此带叙焉，吾学界之耻也。然吾侪史家之职，不能增饰历史实状之所本无。吾唯写其实，以待国人之自勘而已。
清儒颇能用科学精神以治学，此无论何人所不能否认也。虽然，其精力什九费于考证古典，勉誉之亦只能谓所研究者为人文科学中之一小部分，其去全体之人文科学已甚远。若自然科学之部，则欲勉举一人一书，且觉困难。无已，始举下列一二以充数。
物理学及工艺学方面，有宋长庚应星《天工开物》十八卷。长庚，江西奉新人，卒于清初顺康间，其书则成于明崇祯十二年。书之内容如下：
卷一 乃粒 论农产品、农事、农器等。
卷二 乃服 论蚕事、制丝、纺织及织具、缎锦、棉花之种植纺织、麻布、制裘、制毡等。
卷三 彰施 论染料之产出采用及制造等。
卷四 粹精 论农产品制成粮食之法。
卷五 作咸 论各种盐产及制盐法。
卷六 甘嗜 论种蔗、制糖及蜜蜂。
卷七 陶埏 论造瓦、造砖、造陶器、造瓷器诸法。
卷八 冶铸 论铸造钟、鼎、釜、像、炮、镜、钱诸法。
卷九 舟车 论各式舟车及其造法。
卷十 锤锻 论冶铁及各种铁器造法，附冶铜。
卷十一 燔石 燔石类之化炼，内含石灰、蛎灰、煤炭、矾、硫磺、砒石等。
卷十二 膏液 论油品及制法。
卷十三 杀青 论纸料及制法。
卷十四 五金 论金、银、铜、铁、锡、铅各矿之产地，采法、化分法等。
卷十五 佳兵 论矢、弩、干、火药、火器各种制造法。
卷十六 丹青 论朱、墨等颜色之产地及造法。
卷十七 麴蘖 论造酒。
卷十八 珠玉 论珠、玉、宝石、水晶、玛瑙等之产地及磨治法。
观此目录，可以知本书所研究之对象为何。长庚自序云：“世有聪明博物者，稠人推焉，乃枣梨之花未赏，而臆度楚萍；釜鬻之范鲜经，而侈谈莒鼎。画工好图鬼魅而恶犬马，即郑侨、晋华，岂足为烈哉？”彼盖深鄙乎空谈考古之辈，而凡所言皆以目验为归也。丁在君文江论之曰：“三百年前言工业天产之书如此其详且明者，世界之中，无与比伦。”有此书洵足为学界增重矣。
方密之著《通雅》，其中已多言物理，复有余稿，其子位伯中通分类编之，名曰《物理小识》，凡十二卷，内分天、历、风、雷、雨、旸、地、占候、人身、医药、饮食、衣服、金石、器用、草木、鸟兽、鬼神方术、异事，凡十五类。所言虽不免间杂臆测或迷信，不如长庚之摭实，然其中亦颇多妙悟，与今世科学言暗合。例如卷一之论“气映差”，论“转光”，论“隔声”等类皆是。要之，此等书在三百年前，不得谓非一奇著也。
明清之交，学者对于自然界之考索，本已有动机。雍乾以降，古典学大兴，魁儒之聪明才力尽为所夺，甚可惜也。然皖南江、戴一派，好言名物，与自然科学差相接近，程易畴瑶田著《通艺录》，有《考工创物小记》《沟洫疆理小记》《九谷考》《释草小记》《释虫小记》等，惜偏于考古，于实用稍远矣；郝兰皋懿行自言好穷物理，著有《蜂衙小记》《燕子春秋》等，吾未见其书，不知内容如何。
明末历算学输入，各种器艺亦副之以来，如《火器图说》《奇器图说》《仪象志》《远镜说》等，或著或译之书亦不下十余种。后此治历算者，率有感于“欲善其事先利其器”，故测候之仪，首所注意，亦因端而时及他器。梅定九所创制，则有“勿庵揆日器”“勿庵测望仪”“勿庵仰观仪”“勿庵浑盖新仪”“勿庵月道仪”等；戴东原亦因西人龙尾车法作蠃族车，因西人引重法作自转车，又亲制璿玑玉衡——观天器。李申耆自制测天绘图之器，亦有数种。凡此皆历算学副产品也。而最为杰出者，则莫如歙县郑浣香复光之《镜镜痴》一书。
浣香之书，盖以所自创获之光学智识，而说明制望远显微诸镜之法也。据张石洲序，知其书成于道光十五年以前。其自序云“时逾十稔然后成稿”，则知属稿在道光初年矣。时距鸦片战役前且二十年，欧洲学士未有至中国者，译书更无论。浣香所见西籍，仅有明末清初译本之《远镜说》《仪象志》《人身概说》等三数种，然其书所言纯属科学精微之理，其体裁组织亦纯为科学的。今将原书四大部分各子目表列如下：
第一部 明原。原注云：镜以镜物，不明物理，不可以得镜理物之理，镜之原也。作《明原》一原色，二原光，三原影，四原线，五原目，六原镜。
第二部 类镜。原注云：镜之制，各有其材；镜之能，各呈其用；以类别也。不详厥类，不能究其归。作《类镜》一镜资；二镜质；三镜色；四镜形。
第三部 释圆。原云：镜多变者，唯凹与凸。察其形，则凹在圆外，凸在圆内。天之大，以圆成化；镜之理，以圆而神。姑作《释圆》一圆理，二圆凸，三圆凹，四圆叠，五圆率。
第四部 述作。原注云：知者创物，巧者述之，儒者事也。民可使由，不可使知。匠者事也，有师承焉，姑备所闻。儒者之事，有神会焉，特详其义。作《述作》一作照景镜，二作眼镜，三作显微镜，四作取火镜，五作地镫镜，六作诸葛镫镜，七作取影镜，八作放字镜，九作柱镜，十作万花筒镜，十一作透光镜，十二作视日镜，十三作测日食镜，十四作测量高远仪镜，十五作远镜。
全书体例，每篇皆列举公例若干条，理难明者则为之解，有异说者则系以论，表象或布算则演以图全书为图一百二十八。大抵采用西人旧说旧法者什之二三，自创者什之七八。书中凡采旧说必注明。其原光公例十八条，采旧说者三。原目公例十二条，采旧说者四。余类推。吾不解科学，不能言其与现代西人之述作比较何如。顾吾所不惮昌明者：百年以前之光学书，如此书者，非独中国所仅见，恐在全世界中亦占一位置。浣香所以能为此者，良由其于算学造诣极深见张序，而又好为深沈之思见自序。张石洲言：“浣香雅善制器，而测天之仪，脉水之车，尤切民用”，则其艺事之多能又可知矣。以前宋后郑之学，而不见推于士林。《畴人传》巾无郑名。嘻！“艺成而下”之观念毒人深矣。
邹特夫亦以明算通光学。所著《格术补》，因沈存中括《梦溪笔谈》中一条，知宋代算家有此术，因穷思眇虑，布精算以阐其理。郑浣香亦因读《梦溪笔谈》而有悟，但邹决非袭郑。可谓好学深思，心知其意。特夫又自制摄影器，观其图说，以较现代日出日精之新器，诚朴僿可笑，然在五十年前无所承而独创，又岂可不谓豪杰之士耶！粤人复有梁南溟汉鹏者在特夫前，陈兰甫称其“好言物性，金木百工之事莫不穷究，尤善制火药，以所制者发鸟枪，铅丸较英吉利火药所及加远”云。
医学方面，中国所传旧学，本为非科学的。清医最负盛名者如徐洄溪大椿、叶天士桂，著述皆甚多，不具举。唯有一人不可不特笔重记者，曰王勋臣清任，盖道光间直隶玉田人，所著书曰《医林改错》，其自序曰：“……尝阅古人脏腑论及所绘之图，立言处处自相矛盾。……本源一错，万虑皆失……著书不明脏腑，岂非痴人说梦？治病不明脏腑，何异盲子夜行？……”勋臣有惕于此，务欲实验以正其失。然当时无解剖学，无从着手。彼当三十岁时，游滦州某镇，值小儿瘟疹，死者甚多，率皆浅殡。彼乃不避污秽，就露脏之尸细视之，经三十余具，略得大概，其后遇有赴刑之犯，辄往追视。前后访验四十二年，乃据所实睹者绘图成《脏腑全图》而为之记。附以《脑髓说》，谓灵机记性不在心而在脑；《气血合脉说》，斥《三焦脉诀》等之无稽，诚中国医界极大胆之革命论。其人之求学，亦饶有科学的精神，惜乎举世言医者莫之宗也。
吾叙带科学，而供吾论列之资料仅此。吾阁笔且愧且悲焉。虽然，细思之，未足为愧，未足为悲。西方科学之勃兴，亦不过近百年间事耳，吾乾嘉诸老未能有人焉于此间分一席，抑何足深病？唯自今以往仍保持此现状，斯乃真可愧真可悲耳。呜呼！此非前辈之责而后者之责也。后起者若能率由前辈治古典学所用之科学精神，而移其方向于人文自然各界，又安见所收获之不如欧美？虽然，非贵乎知之，实贵乎行之。若如今日之揭科学旗帜以吓人者，加减乘除之未娴，普通生理心理之未学，唯开口骂“线装书”，闭口笑“玄学鬼”，狺狺于通衢以自鸣得意。顾亭林有言：“昔之清谈谈老庄，今之清谈谈孔孟。”吾得易其语曰：“今之清谈谈科学。”夫科学而至于为清谈之具，则中国乃真自绝于科学矣！此余之所以悁悁而悲也。
十一 乐曲学
昔之言学者，多以律历并举。律盖言乐之律吕也。其所以并举之故，虽支离不足取，吾为叙述便利起见，姑于述历算后次论焉。可纪者少，等于附庸而已。
但吾仍有须郑重声明者：吾之无乐曲学常识，一如其于历算。吾绝无批评诸家得失之能力，且所叙述亦恐不能得其要领。希海内明治斯学者有以教之。
中国音乐，发达甚早。言“六艺”者两说，《周官》大司徒之“礼、乐、射、御、书、数”；《汉书·艺文志》之“诗、书、礼、乐、易、春秋”。乐皆与居一焉。儒家尤以之为教育主要工具，以是招墨氏之非议。惜无乐谱专书，其传易坠。汉魏以降，古乐寖亡，以至于尽。累代递兴之新乐，亦复阅时辄佚，而俗乐大抵出伶工之惰力的杂奏，漫以投里耳之好，故乐每况而愈下。乐之研究，渐惹起一部分学者之注意，固宜然矣。
清儒所治乐学，分两方面：一曰古乐之研究，二曰近代曲剧之研究。其关于古代者复分两方面：一曰雅乐之研究，二曰燕乐之研究。关于近代者亦分两方面：一曰曲调之研究；二曰剧本之研究。
清儒好古，尤好谈经。诸经与乐事有连者极多，故研究古乐成为经生副业，固其所也。清初自诩知乐者首为毛西河，著有《竞山乐录》——一名《古乐复兴录》《圣谕乐本解说》《皇言定声录》等书；而李恕谷从之游，著有《学乐录》以申其说。此四书者可称为毛氏一家之学。西河自称得明宁王权家所藏唐乐笛色谱，因据之以推得古代之七调九声，谓“自春秋迄明，千年长夜，一旦尽举而振豁之”，其自负可谓至极。然所谓宁王之《笛色谱》，始终未尝出以示人，其有无且不知，其是否唐乐更不可知。西河人格不足以见信于世，故全谢山攻其伪妄，盖有以自取矣。然其对于荒诞支离的旧说扫荡廓清之功，固不可泯灭。彼力斥前人之以五行附会乐理。略云：“乐之有五声，亦言其声有五种耳，其名曰宫曰商，亦就其声之不同，而强名之作表识耳。自说音推原元本，忘求繇历，……至有分配五行、五时、五土、五色，……而究与声律绝不相关。此何为也？……故凡为乐书，多画一元、两仪、五行、十二辰、六十四卦、三百六十五度之图，斐然成文，而又畅为之说，以引证诸黄钟、太簇、阴阳、生死、上下、顺逆、增减，以及时气、卦位、历数之学凿凿配合者，则其书必可废。……”彼力斥前人之摹揣古乐器以图复古。略云：“尝牵合古尺，考覆旧琯，呼工师截竹，裁设管器，及裁竟而乐殊不然，然后知迁、固以后，京房、郑玄、张华、荀勖，……及近代之韩尚书、郑恭王辈，凡言钟铸均弦、造器算数，皆欺人之学，不足道也。”此皆一扫尘霾，独辟畦径。其所自立论之价值如何，吾不能妄评，凌次仲谓西河全属武断。陈兰甫谓西河论乐最谬，七声十二律茫然不知。但其革命的精神则甚可师也。清初尚有胡彦升著《乐律表微》，凌次仲谓其只知唱昆山调及推崇朱子。
初期汉学家之乐学的著作，最有名者为江慎修之《律吕新论》二卷，《律吕阐微》十一卷。慎修长于算，故以算理解乐律，多能匡正宋明人之失。然乐律应否以算理解释，实为先决问题。慎修虽用力甚勤，然其截断众流之识，恐反出西河下也。书中附会河图、五行、纳音、气节诸陋习亦不免。唯《新论》卷末论声音流变，论俗乐可求雅乐，论乐器不必泥古诸条，似有卓见。《阐微》言唐宋燕乐之当研究，实为凌次仲示其途径。戴东原亦有论乐律之篇，大致不出慎修见解。
清儒最能明乐学条贯者，前有凌次仲，后有陈兰甫，而介其间者有徐新田养原。次仲之书曰《燕乐考原》六卷。燕乐者，唐代音乐最主要之部分也。唐天宝十三载，分乐为三部：先王之乐为雅乐，前世新声为清乐，合胡部者为燕乐。沈括《梦溪笔谈》语而燕乐最贵，奏技者皆坐堂上。白香山《立部伎》诗自注云：“太常选坐部伎，无性识者退入立部伎；又选立部伎，绝无性识者，退入雅乐部。”立部伎即掌清乐者也，雅乐又在其下。清乐者，梁陈旧乐也；燕乐者，周隋旧乐也。本书卷六语唐承周隋之统，以其旧乐为主，而以西域诸国乐损益之，故其燕乐集乐之大成。次仲以为，“世儒有志古乐而不考之于燕乐，无异扣盘扪籥”自序语，故专为此书研究之。卷一为总论，考燕乐之来历，说明其选声制谱之概略，卷二至卷五分论燕乐二十八调宫、商、角、羽各七调，各自为卷；卷六为后论，凡十三章《燕乐二十八调说》上中下，《字谱即五声二变说》上下，《述琴》《述笛》《宫调之辨不在起调》《毕曲说》《徵调说》《燕乐以夹钟为律本说》《明人九宫十三调说》《南北曲说》《声不可配律说》；附加《燕乐表》终焉。其书之要点大略如下：吾之学力实不配作提要，所摘有误略，望读者指正。
一、燕乐之原，出于龟兹苏祗婆之琵琶。琵琶四弦，为宫、商、角、羽四声无徵声，每声七调，故有二十八调。
二、燕乐之调，本以字谱即上、工、尺等为主，与《汉书·律历志》所言律吕之长短分寸，渺不相涉。郑译、沈括辈将二者牵合为一，乃欺人之谈。
三、今之字谱，即古之宫商——上字为宫，尺字为商，工字为角，合字为徵，四字为羽，一字为变宫，凡字为变徵。此明朱载堉说，次仲略修改之。古乐用五声二变而成音，犹今乐用七字谱而成调，即此可以沿而上溯，不必旁求。
四、《乐志》等向称唐人八十四调，其实只是二十八调，因琵琶四弦每弦七调故也。然宋乾兴以来所用仅十一凋，今则仅用七调而已。
五、今之南曲，即唐清乐之遗；今之北曲，即唐燕乐之遗。疑燕乐完全失传者，误也。
其自序谓：“廷堪于斯事初亦未解，若涉大水者有年，然后稽之于典籍，证之以器数，一旦始有所悟入。”其与阮伯元书云：“推步学自西人之后，有实测可凭，譬之鸟道羊肠，绳行悬度，苟不惮辛苦，无不可至者。若乐律诸书，虽言之成理，乃深求其故，皆如海上三神山，但望见焉，风引之则又远矣。何者？一实有其境，一虚构其理也。吾书成，庶东海扬尘，徒步可到矣。”总之，昔之言乐者，皆支离于乐外，次仲则剖析于乐中。其剖析所得成绩如何，虽非吾侪门外汉所能妄谈，若其研究方法，确为后人开一新路，则吾敢断言也。次仲之乡先辈程易畴有《声律小记》一卷，《琴音记续篇》一卷，似无甚发明。唯其“论中声”一条，陈兰甫极称之。
次仲复有《晋泰始笛律匡谬》一卷。其自序云：“乐学之不明，由算数之说汨之也。黄钟之数，《史记》《汉书》皆云十七万一千一百四十七。不知此数于何而施用。将以为黄钟之长耶？恐九寸之管，非针芒刀刃不足以容之，将以为黄钟之实耶？恐径九分之中，非野马尘埃不足以受之。……然则律度乘除之损益，果足以深信耶？画鬼易，画人难，言乐者每恃此为藏身之固。……陈之以虚数则烂然，验之以实事则茫然者，比比皆是矣。……晋泰始末荀勖制笛律，乃以丝声之律度为竹声之律度，悉毁前人旧作，而乐学益晦。……今为《匡谬》一卷。嗟乎！所匡者宁独荀公哉！”荀律果谬与否，所匡果不谬与否，别一问题。然次仲对于旧乐学摧陷廓清之勇猛见可矣。
年辈稍后于次仲者有徐新田养原，著有《荀勖笛律图注》《管色考》《律吕臆说》等书。新田似未见次仲书，故无一字之征引辨难。其《笛律图注》尊宗荀勖，与次仲正反。其《管色考》，专论字谱，矫正元明人之误，与次仲全同而加详。其《律吕臆说》，亦一扫五行卦气等等纠缠之说，专剖析于乐中。与次仲孰优劣，非吾所能言也。其言五声变为七音，为乐学一进步，七音乃律而非声，其变为乃全体改易，非于本音之外漫加二音旧说谓变宫、变徵乃就旧有五声加上；言雅乐非于俗乐之别外有一声节，言雅乐之亡由于图谱失传，不关律吕；言三代之乐不亡于秦，而亡于魏晋；言当因俗乐管色以推求古乐，皆自有见地者。
陈兰甫所著曰《声律通考》十卷。兰甫著书动机，盖因读次仲书而起，而驳正其说亦最多。盖他书无驳之价值，而于凌书所未安，则不容不驳也。卷九之末自注云：“此书于《燕乐考原》之说驳难最多，非掎摭前人也。余于凌次仲，实资其先路之导。其精要之说，固已采录之，至其持论偏宕，则不可不辩。其纷纭舛错，读之而不可解者，尤不能不为订正。九原可作，当以为诤友焉。”今略摘凌、陈异点如下：
一、凌氏掊击荀勖笛律，陈氏极推重之。陈似未见凌之《笛律匡谬》，亦未见徐氏之《笛律图注》。然凌氏《匡谬》之说，已有一部分散见《燕乐考原》中，陈所反驳甚当也。徐著极精密，使陈见之或更有助。说明荀氏十二笛三调之制及其作用。
二、凌氏不信有八十四调，谓郑译创此说以欺人。陈氏考证八十四调为梁隋所有，不始郑译据《隋书·万宝常传》及《旧五代史·音乐志》等书，并说明其可能。
三、凌氏以工尺等字谱分隶宫商等，陈氏承认之。但陈谓此唯今乐为然耳，宋人则以工尺配律吕，非以代宫商。
四、凌氏以苏祗婆琵琶为标准乐器，陈氏谓有研究古乐器之必要。其言曰：“声随器异，由今之器，岂能寄古之声？试取今日之二弦、梆子以唱昆腔，闻者必为掩耳，而况以今器寄古声乎？”
兰甫《东塾集》中有《复曹葛民书》一篇，最能说明其述作之旨。今节录如下。间引本书说或他人说，注其难解者。
……澧为此书，所以复古也，复古者迂儒常谈，澧岂效之？良以乐不可不复古也。……鼓吹也，戏剧也，小曲也，其号为雅音者琴师之琴也，此则今所谓乐也。何为宫商而不知也？何为律吕而更不知也？启超案：徐新田《雅乐论》云：“今之琴有声无节，先不成其为乐矣，何论雅俗！”呜呼！乐者六艺之一，而可以轻亵沦亡若此哉！……近数十年，唯凌次仲奋然欲通此学，自谓以今乐通古乐。澧求其书读之，信多善者。然以为今之字谱即宋之字谱，宋之字谱出于隋郑译所演龟兹琵琶。如其言，则由今乐而上溯之，通于西域之乐耳，何由而通中国之古乐也？又况今之字谱非宋之字谱，宋之字谱又非出于郑译，古籍具存，明不可借假乎？澧因凌氏书，考之经疏史志子书，凡言声律者，排比名稽，以成此编。……将使学者由今之字谱而识七声之名，又由七声有相隔有相连而识十二律之位；识十二律，而古之十二宫八十四调可识也。启超案：兰甫弟子殷康保校《声律通考》竣，而撮其要点为跋云：“五音宫、商、角、徵、羽，即今所谓上、尺、工、六、五也。加变宫、变徵为七音，即今所谓一、凡也。七音得七律，宫与商之间有一律；角与变徵之间有一律；徵与羽之间有一律；羽与变宫之间有一律；是为十二律也。十二律者，高下一定者也；七音者，施转无定者也。十二律各为宫，则各有商、角、徵、羽，是为十二宫；十二宫各为一均；每一均转七调，则八十四调也。……”此段最能将全书提纲挈领，故录以为注。又由十二律四清声而识宋人十六字谱，识十六字谱而唐宋二十八调可识也。然此犹纸上空言也，无其器何以定其声？无其度何以制其器？属有天幸，《宋书》《晋书》皆有“荀勖笛”，而阮文达公摹刻钟鼎款式有“荀勖尺”，二者不期而并存于世。夫然后考之史籍，隋以前历代律尺皆以“荀勖尺”为比。金、元、明承用宋乐，宋乐修改王朴乐；而王朴律尺又以荀勖尺为比。有荀勖尺，而自汉至明乐声高下皆可识也。然而“荀勖尺”易制也。“荀勖笛”难知也。《宋书》《晋书》所载荀勖笛制，文义深晦，自来读者不能解。澧穷日夜之力，苦思冥悟而后解之，而后仿制之，于是世间乃有古乐器。又读朱子《仪礼经传通解》，有唐开元《鹿鸣》《关雎》十二诗谱，以今之字谱释之，于是世间乃有古乐章。……遍考古书所载乐器，从未有细及分厘如荀勖笛制者；遍考古书所载乐章，从未有兼注意音律如十二诗谱者。古莫古于此，详亦莫详于此。授之工人，截竹可造，付之伶人，按谱可歌，而古乐复出于今之世矣。……象州郑小谷见此书，叹曰：“有用之书也。”又曰：“君著此书辛苦，我读此书亦辛苦也。”嗟呼！辛苦著书，吾所乐也。有辛苦读之者，吾愿足矣。若其有用，则吾不及见矣。其在数十年后乎？其在数百年后乎？
吾认此书之著作为我学术界一大事，故不避繁重，详录此函。读之，则书之内容大概可识矣。吾以为今所当问者只有两点：一、兰甫所解荀勖笛制是否无误？二、朱子所传开元十二诗谱是否可信？兰甫又言：“即谓十二诗谱不出开元，而为宋人所依托，然自宋至今，亦不可谓不古。较之毛大可所称明代之唐谱，不可同年而语矣。”若诚无误也，可信也，则所谓古乐复出于今世者，真可拭目而待也。由兰甫之书以复活汉晋以来不绝如缕之古乐；由次仲之书以复活唐代融会中西之燕乐，此点兰甫绝对承认次仲书之价值，兰甫书亦有可以补其未备者。则二千年音流变，可以知其概以求隅反，乐天下快事宁有过此？夫今日音乐必当改造，识者类能言之矣，然改造从何处下手耶？最热心斯道者，亦不过取某国某名家之谱，随己之所嗜，拉杂输入一二云尔。改造音乐必须输进欧乐以为师资，吾侪固绝对承认。虽然，尤当统筹全局，先自立一基础，然后对于外来品为有计划的选择容纳。而所谓基础者，不能不求诸在我，非挟有排外之成见也。音乐为国民性之表现，而国民性各各不同，非可强此就彼。今试取某国音乐全部移植于我国，且勿论其宜不宜，而先当问其受不受。不受，则虽有良计划，费大苦心，终于失败而已，譬之撷邻圃之秾葩，缀我园之老干，纵极绚烂，越宿而萎矣。何也？无内发的生命，虽美非吾有也。今国中注意此问题者，盖极寥寥。然以吾所知一二先觉，其所见与所忧未尝不与吾同，盖亦尝旁皇求索，欲根据本国国民性为音乐树一新生命，因而发育之，容纳欧乐以自荣卫。然而现行俗乐堕落一至此甚，无可为凭借；欲觅历史上遗影，而不识何途之从，哀哉耗矣！次仲、兰甫之书，以门外汉如我者，于其价值如何，诚不敢置一辞，然吾颇信其能示吾侪以前途一线光明。若能得一国立音乐学校，资力稍充，设备稍完，聚若干有音乐学素养之人，分出一部分精力，循此两书所示之途径以努力试验，或从此遂可以知我国数千年之音乐为何物，而于其间发见出国民音乐生命未之卵焉，未可知也。呜呼！吾之愿望何日偿也？兰甫先生盖言：“其在数十年后乎？其在数百年后乎？”
次仲《燕乐考原》之中四卷，详列琵琶四弦每弦所衍生之各七调，胪举其调名，上自郊祀乐章，下至院本杂剧，网罗无遗，因此引起后人研究剧曲之兴味焉。
初，康熙末叶，王奕清撰《曲谱》十四卷，吕士雄撰《南词定律》十三卷。清儒研究曲本之书，盖莫先于此。乾隆七年，庄亲王奉敕编《律吕正义后编》，既卒业，更命周祥钰、徐兴华等分纂《九宫大成南北词谱》八十一卷，十一年刊行之，曲学于是大备。江郑堂《汉学师承记》称，凌次仲是年应某达官之招，在扬州校勘词曲谱，得修脯自给；次仲精于南北曲，能分别宫调，自此。疑次仲曾参与《九宫谱》事也，待续考。后此叶怀庭堂《纳书楹曲谱》，称极精审，度曲者宗之。有戴长庚著《律话》，吾未见其书，且未审为何时人。兰甫《声律通考》屡引其说，盖亦旁及曲律云。
以经生研究戏曲者，首推焦里堂，著有《剧说》六卷，虽属未经组织之笔记，然所收资料极丰富，可助治此学者之趣味，吾乡梁章冉廷柟著《曲话》五卷，不论音律，专论曲文，文学上有价值之书也。而陈兰甫亦有《唐宋歌词新谱》，则取唐宋词曲原谱已佚而调名与今本所用相符、字句亦合者，注以曲谱之意，拍而歌之。其自序有言：“物之相变，必有所因，虽不尽同，必不尽异。……诗失既求诸词，词失亦求诸曲，其事一也。……”读此可见此老雅人深致，惜其书已不传。
最近则王静安国维治曲学最有条贯，著有《戏曲考原》《曲录》《宋元戏曲史》等书。曲学将来能成为专门之学，静安当为不祧祖矣。而杨时百宗稷专言琴学，著《琴粹》《琴话》《琴谱》《琴学随笔》《琴余漫录》《琴镜》等书，凡二十四卷。琴学是否如徐新田所诋“不成其为乐”，吾不敢言。若琴学有相当价值，时百之书，亦当不朽矣。
