卷七学术七测算上

算学捃华百篇 任测一恒星欲 定北极度其法若何 汪凤藻 * 图略 如图甲己乙丙子午 圈甲乙为地平丙为天顶丁为所推之北极则戊己为赤道任测一星如子 欲定北极出地度法先测得子庚赤道北纬度戊庚星距午线赤道经度及 子辛高度乃取丁子丙斜弧三角形用垂弧法作子丑垂弧 高弧交地平点近子点则垂弧在形内出地度少近午点则垂弧在形外出 地度多分原形 为丁子丑子丑丙二正弧三角形有丁子弧 象限减北纬子 丙弧 象限减高度丁 角 即戊庚赤经度 及丑直角先求子丑垂弧次求丁丑及丑丙二弧相加得丁丙以减丙甲象 限余丁甲即所推北极出地度 金星二百二十 五日一周某日与地同行试推须俟若干日复 [ 与 地同行](推北极出地度 ) 蔡锡勇 答曰五百八 十四日又五分日之二 按金星绕日一周为 地球绕日一周八分之五乃有比例 一率八五 二率三六五 四之一 三率一四率五八四 五之二 地距日一万二 千地径求所受光热有几分 马呈忠 答曰二十三 亿零四百万分之一 法以天球面积除地 球面积即得 * 算式略 以地径为一日 径为百零六日距地一万二千月距地三十当月食推地影尖距月若干 远 贵荣 答曰八十四 又七分之二 * 图略 如图甲乙为日径丁 戊为地径壬辛为月径丙己日距地一万二千 两心相距己子 月距地三十两 心相距命己丑 为天乃有等数 * 算式略 求得己丑一一四又 一0五之三0 约之得一一四又七分之二内减己子月距地三 0余子丑八四又七分之二为地影尖距月之度 已知月地距测 日食东西视差以推日地距其法若何 杨兆蓥 * 图略 如图甲乙为地面二 测处丙为月人在甲见月在日面丑人在乙见月在日面子法先测两处月 过太阳面出入时刻以二处时刻之较变为角度量得子甲丑或子乙丑视 差角又以甲乙二处距弧求得通弦甲乙而甲丙等乙丙皆为地面距月 心故有甲乙丙三角形有三边求得丙角与半周减得甲丙子角既得甲丙 子角即可得丙子甲角乃以子角正弦与甲角正弦比若甲丙月距地与丙 子月距日比得丙子加 [ 乙 ] 丙即日地距 测月地距其法 若何 王宗福 * 图略 如图子为月甲为地 面测处心为地心心子甲角为视差角乙为天顶子甲乙角为月距天顶角 其外角为子甲心角法用心甲子三角形有三角及甲心边 地半径求得子 心边即月地二心距也 日月二视径相 等以何法测其真径 徐广坤 法以半径为一率地 心距日月心为二率视角 即地心视日月以日月半径为对边之角 正弦为三率求得四率倍 之即日月真径 * 图略 如图甲为日心甲丙 为日半径乙为地心乙甲为地心距日心之远自乙视甲成甲乙丙三角形 乙角可测而知丙为直角求甲丙边有比例 一率半径 二率乙角正弦 三率甲乙边 四率甲丙边 求得甲丙为日真半 径倍之得日径测月 同置闰之法与 理试详言之 陈寿田 考之闰者日月不齐 之数圣人立四仲中星以定之在璇玑玉衡以齐之职此之故乃参赞化育 之道调燮四时之理不可不慎也盖其法以岁实三百六十五日四分日之 一太阳每日行天一度太阴每日行天十三度十九分度之七以定三年 一闰五年再闰十九年七闰万古不易之理也今以法计之以每日日行一 度与月行十三度十九分度之七相减余十二度十九分度之七为一日之 月距日度用通分法通为二百三十五分为法以周天三百六十五度四 分度之七亦通为六千九百三十九分小余七五为实以法除实得二十九 日二百三十五分日之一百二十四小余七五约为二十九日九百四十分 日之四百九十九小余七五为朔策乃以每岁三百六十日与岁实三百六 十五日四分日之一相减余五日四分日之一通为五日九百四十分日 之二百三十五为一岁之气盈以朔策二十九日九百四十分日之四百九 十九与三十日相减余九百四十分日之四百四十一为一月之朔虚以十 二月乘之得五千二百九十二分以九百四十分收之得五日九百四十分 日之五百九十二为一岁之朔虚乃以一岁之气盈朔虚日数相并得十 日九百四十分日之八百二十七即一岁之闰率递加之得逐岁之闰率视 某岁某月无中气即可定闰月也此即置闰之法至于其理乃气盈朔虚所 积 [ 而 ](面) 成何谓气盈气中气也盈 有余也朔月与日会光尽而复苏也虚不足也夫岁有十二月月有三十 日三百六十日一岁之常数也太阳行黄道一周日与天会则三百六十五 日五时三刻三分奇较常数多五日五时三刻三分有奇是谓气盈 此系用时刻分与前同以周日分之得前法之气盈 月与日会一月则二十九 日十二时二刻十二分有奇若十二会三百五十四日三刻三分有奇较常 数少五日十五时十一分奇是为朔虚是以置闰必以气盈朔虚为主然 三年何以一闰因尚不足以尽余分五年再闰则又太过须至十九年七闰 其闰余已足朔策之七倍则气数分齐乃为一章其数有常而不变此皆以 平行言之也今节气合朔皆日用之实行以无中气之月为闰月 凡闰月必准一节气 日有盈缩月有迟疾其节 气合朔有进退故置闰之远近较平行复有参差然至十九年则盈缩迟疾 已过数周合而计之实行与平行之数亦得近合矣 有半球体求重 心 王锺祥 * 图略 如图子丑寅为半球 体作丑子丑寅二线成丑子寅圆锥形取丑辰四分之一午点为圆锥重心 既得圆锥重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左 一率半球体积 二率圆锥体积 三率圆锥重心 四率半球体重心 半周有质弧线 求重心 王宗福 * 图略 如图甲丙乙为半周 有质弧线丙心为半径半径自乘以象限周除之得重圆二心距丁心丁点 即重心 * 算式略 有半圆面截去 六十度截线正交圆径求残积之重心 王宗福 * 图略 如图甲丙乙半圆面 丙乙六十度丙丁正交甲乙径求甲丙丁残积之重心先作心丙半径将残 积分为甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句为半径之半求得丙心丁之 重心为卯复求得半圆重心比例得一百二十度甲心丙积之重心如子 作子卯线甲丁丙积与丙心丁积比若子卯与子丑比丑即所求重心 有端砚一块长 一尺宽五寸厚二寸作一圆池距三边各五分深一寸二分求重心距各边 若干 博勒洪武 * 图略 如图甲乙丙丁为砚 丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圆池圆距丙戊丙丁丁庚三边皆五 分法先求得壬子积与丙戊庚丁积相减余三二四 八甲乙戊庚积亦为五十方寸则有比例 如左 一率共积 二率共长 三率丙戊庚丁残积三二四八 四率丁心一九 求得丁心一九则距 甲乙边三寸四分强距丙丁边六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分 有杠杆长二十 七尺以人力百斤欲移动千二百五十斤之石试推其倚所当在何处 杜法孟 答曰距石二 尺内 * 图略 法以力重相加为一 率杆长为二率力为三率求得四率得倚所 有铁锤四其重 如三四五六之数按次分悬于直杆每锤相距一尺试求定点 杨兆鋆 * 图略 如图甲乙丙句股面 取甲乙句三分之一于丁甲丙股三分之一于戊各作垂线丁己戊庚交点 心即句股面重心切心点正交乙丙作线辛壬作辛点为合弦平地平之点 而戊辛等甲丁戊心辛与本形同式故比例如句与戊心 句三之一一相 乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙 大分减甲戊得 甲辛 小分又法用心 庚己形求之有等式 * 算式略 求得辛丙即大分减 股得小分 有句八股十五 句股面于弦取二点令悬之一句平如地平一股平如地平其法若何 席淦 * 图略 如图先求句股重心 甲自甲作句股之垂线引长至悬弦于丙辛二点则句股合地平丙己为弦 三之一辛己为弦三之二何也甲丁为庚丁三之二乙丁必为戊丁三之二 丙乙与戊己平行丙丁必为己丁三之二而丙己必为三之一又己甲为 己癸三之二己壬必为己戊三之二辛壬与丁戊平行则辛己必为丁己三 之二 丙己五六六六六辛己一一三三三三 有膛径尺五 若以铁较水重八倍求其子轻重若何 贵荣 法以方圆边线相等 体积不同定率立方一九九八五九三一七为一率球积一为 二率膛以一五自乘再乘得三三七五为三率求得四率一七六七寸又一 九九八五九三一七之二七八五八六八六一为球积再以水每方尺率 七十六斤化为一千二百一十六两以一千寸除之 得每方寸十二线又二十五分之四以乘球积得二一二四再八倍之得 一六九六三二以十六除之得一千六百斤强即子重 有鎗子向上直 放二十秒始落求其升高若干并作图明其理 文续 答曰一千六 百尺 法以二十秒折半自 之得一百以初秒所过之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高 * 图略 如图甲乙丙三角形 甲乙等纵线为时乙丙等横线为速十秒内所过之路即为甲乙丙三角形 积 有物下坠数秒 而末秒之路为全路三分之一试求其秒数 时永清 答曰七秒又 一七八二 二方根为一四一四 二三方根为一六四三 一两根较为二二八九乃有比例 一率两根较二二 八九 二率三方根一六四三一 三率一秒 四率七秒又一七八二 * 图略 如图甲乙丙为全路 积甲丁戊积为三分之二戊丁乙丙积为三分之一甲乙为共时丁乙 为一秒甲乙丙积与甲丁戊积比若三与二比甲乙丙积与甲丁戊积比 又若甲乙方与甲丁方比即三与二比若甲乙方与甲丁方比亦即三方根 与二方根比若甲乙与甲丁比故三方根二方根较与三方根比若甲乙甲 丁较之丁乙一秒与甲乙共时比 有一其最远 界二十里移于高山顶高出平地四十里下测一敌营须用四十五度方向 方能及之求营距若干远 王宗福 答曰四十里 * 图略 如图甲为甲壬为 四十五度方向丑为拋物线顶点甲辛即山高丁为敌营丑未五与丙未方 一百比若丑未加己丁四五与己未方九百比得己三十即得甲己 [ 即]辛丁 距四十里 今有台六百 九十七尺长对面有敌国兵船从此头视之成角八十四度四十分从彼头 视之成角八十六度三十分求船距二处及台与船最近之处相距各若 干 杨枢 答曰船距此 头四千五百三十一又距彼头四千五百一十九尺台与船最近之处相 距四千五百十一尺 * 图略 先求乙角法以丙角 八十四度四十分与丁角八十六度三十分相并以减半周一百八十度余 八度五十分为乙角度数 次求乙丁边 一率乙角正弦九 一八六二八 二率丙丁边二八四三二三 三率丙角正弦九九九八一一 四率乙丁边三六五五六 检表得乙丁 边四千五百一十九尺 次求乙丙边 一率乙角正弦九 一八六二八 二率丙丁边二八四三二三 三率丁角正弦九九九九一八 四率乙丙边三六五六一三 检表得乙丙边四千五百三十一尺 末求乙戊中垂线 一率半径一0000000 二率丙角正弦九九九八一一 三率乙丙边三六五六一九 四率乙戊垂线三六五四三0 检表得四千 五百一十一尺即台与船相距最近之处 今有兄弟三家 欲掘井使距各家维均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈试 推其井应在何处与距各家之远近若何 左秉隆 答曰井与各 家相距十二丈五尺有奇 * 图略 如图以甲丙为一率 甲乙乙丙和为二率甲乙乙丙较为三率求得四率为底边较三丈五尺与 甲丙相减半之为句以甲乙为弦求得股十七丈四尺余为甲乙丙三角形 之中垂线次以中垂线为一率甲乙为二率乙丙为[三]率 求得四率二十五丈有奇为圆径半之为井与各家相距数 今有弧矢田试 作一界线平分为二分 杜法孟 * 图略 如图丙乙甲弧矢田 先作乙甲直线自乙甲弧折半丁点至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙线 以丁壬丙[为 界](乙)即 分弧矢田为两平分 解曰丁壬甲等于丁 壬乙自壬与乙丙平行作壬戊线与甲丙平行作壬辛线则成壬戊甲壬戊 丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等积甲壬丙乙壬丙皆得二句股积故等 又解曰丁壬甲等于 丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬 等于乙壬其高又 等 同以壬丙为高 故其积等 弧矢形内求任 作相切二圆其心俱在弧背其周俱切弦其法若何 杨兆鋆 * 图略 法自大圆心作心甲 半径取甲点作戊辛之垂线甲丙以甲为心甲乙为度作圆 乙即甲圆周切弦之一点 引长甲丙线至丁作丁甲 半径 甲即甲圆心切弦之一点 自丁至戊作丁戊线割甲 圆周于己即二圆切点乃作甲己线引长至弧背得庚点即为庚圆心以庚 己为度作圆其切弦点为壬即丁戊线交弦之点也 三角内求作相 等相切六圆 懿善 * 图略 平分三边形之三边 于一二三作乙一丙 二甲三三中垂线相交于丁平分丁甲一 角作分角线遇丁一线于子以丁为心以丁子为度度于二三两线遇于丑与寅则丑子寅为所求之三圆心而子一为其半径若过 子点作线与甲丙边平行遇甲三丙二两 线于卯辰又自卯与辰各作线与甲乙乙丙两线平行则得又三圆心 有长椭圆体及 圆锥体椭圆短径等于锥之底径长径等于锥高此二体和即等径等高之 圆柱试解其理 蔡锡勇 * 图略 如图甲乙丙丁为圆 柱积其长甲乙 戊己丙丁并同 即戊己庚辛椭圆体之长径戊 [ 乙 ](己) 丁锥体之高其阔甲丙 庚辛乙丁并同 即椭圆体之短径锥体之底径夫浑圆本得同径圆柱积三分之二锥体得 三分之一椭圆亦然今以甲丙短径求得甲壬丙癸圆面甲乙乘之为柱 积三归之为戊庚辛半椭圆积亦为戊乙丁圆锥积则戊庚己辛全椭圆积 必得圆柱积三分之二戊乙丁圆锥积必得圆柱积三分之一故相并即圆 柱积也 大球截积内求 所容相等相切三球 蔡兆熊 * 图略 如图子辰午为大球 截积子午为截积通弦己午为正弦取丑未倍己午作丑未寅等边三角形 其中垂线寅己引长己申至卯今申卯等于半己申以卯为心寅为界截辰 卯线于酉则酉己为小球全径乃于截积平圆内面以圆心己为心酉己 为边作等 [ 边 ](趋) 边三角其三角点即小球 切点也 又图设三球心为乙 为丙为甲作三线相连成乙甲丙等边三角形其心为戊丁为大球心作丁 戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半径为天以代数求之 * 算式略 依式是三正弦为方 正字上大矢为长阔较开四个方得小球半径三大矢为长阔较开一个方 为小球全径寅己方三倍午己方己卯为半较得酉己即为小球径 六面体内容八 面体其二体比例若何 汪凤藻 * 图略 如图甲乙正六面体 先求作内容八等面体法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四点 作丙己己戊戊丁丁丙四线成丙戊直角四等边形即内容八面体半锥体 之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二点作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊 辛丁辛己辛丙八线成庚辛丁己八等面体其六角均切六面体之面心欲 明二体之比例命六面体之一边为甲八面体之一边为乙以数明之 * 算式略 不等面立三角 求重心其法若何 汪凤藻 法任以一面为底面 求得其重心点自此点至顶角作线必过立三角重心复取一面如法作之 得二线交点即所求准此自底面取重心线四分之一即重心 今有正圆球三 角垛共十球球径一尺求垛顶至平面高若干 杜法孟 答曰二尺六 寸三分强 * 图略 法自上层一球与中 层三球四球心作六线成六等边形边与球径等以一边为弦半边为句求 得股为每一线之中垂线又以一边为弦中垂线三分之二 即分角线为句 求得股为六等边自尖至底中心之立垂线倍之加球径为垛顶至平面之 高 如图子丑辰卯己午 未寅酉申十球子为上层辰丑卯为中层己午未寅酉申为下层试自子辰 丑卯四球心作甲乙丙丁六边形棱六角四平铺之则面亦四 如壬辛各成一 等边三角形试以乙丙丁一面为底取乙丙一边为弦丁丙一边折半为句 求得乙戊股为底面之中垂线又以甲丙一边为弦己丙 中垂线三分之二 为句求得甲己股为自尖 至底中心之立垂线即六边行之高亦即上层球心至中层球心之高亦即 中层球心至层底球心之高故倍之加上下二半径得垛顶至平面之高 又法以倍球径为边 作六等边形如前法求得立垂线加球径即得如前图甲乙边倍则甲己立 垂线必倍故加球径即得 又法以每边自乘三 归二因开平方即得自尖至底中心之立垂线如前图戊丙为甲丙线之半 则戊丙方为甲丙方四分之一甲戊方必为甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊线 为甲戊线三分之一则己戊方为甲戊方九分之一甲 己方必为甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之 二故以每边自乘三归二因开平方得立垂线 今有官司依平 方招兵初日方边四尺以后每日递加二尺每人日给银一两二钱已支银二 万六千零四十两推招了几日已 招若干兵 黎子祥 答曰共招十 四日 招兵四 千九百五十六名 * 算式略 瓜豆同日发芽 生蔓瓜蔓初日长一尺六寸以后每日所长递减半豆蔓初日长一寸以后 每日所长递加半二蔓第几日相等 蔡锡勇 答曰五日 解曰此即连比例率 数瓜蔓初日所长为末率豆蔓初日所长为首率得若干率数即二蔓相等 日数以代数明之 * 算式略 于此可见未之指数 必比层数减一命层数于天则末率恒为● 即●准代数之理上式可变为 ●为首率一之对数等于故以二之对数 一0三 除瓜蔓初日所长一尺六 寸之对数 四0二一 得四加一得五为相等日 数 有平句有明股 求圆径 长秀 * 算式略 有边股有平句 股较求圆径 廷铎 * 算式略 有底句有明股 求圆径 长秀 * 算式略 有底弦较和有 高句股较求圆径 辛泽贤 * 算式略 有断句股较有 大弦和和求圆径 联印 * 算式略 有明弦有底句 求圆径 斌衡 * 算式略 有明句有平弦 求圆径 巴克他讷 * 算式略 有平句股较有 弦求圆径 李逢春 * 算式略 有底弦和较有 句弦较求圆径 左庚 * 算式略 有断句股较有 句弦较求圆径 韩常泰 * 算式略 有断句股较有 明弦较较求圆径 王镇贤 * 算式略 有大差弦和较 有断句股较求圆径 任敬和 * 算式略 有断句股较有 大弦和和求圆径 王锺祥 * 算式略 有股弦较有 明句弦较求圆径 王镇贤 * 算式略 有虚句股和有 大中垂线求圆径 赓善 * 算式略 有容方边有 [ ] 句股较求圆径 王镇贤 * 算式略 有圆城甲出北 门东行二百步而立乙出南门直行回望见甲与城参相直复斜行至甲处 其行五百六十步求城径若干 廷俊 答曰二百四 十步 立天元一为半径倍 之即大弦和较甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内 减天元得甲[元]为 大股弦较二底弦明股和内减二底句得为二明三事和即二大句弦较以 乘大股弦较得寄左另以大弦和较自之得元为同数与左相消得二开 方得半径倍之即全径 * 算式略 二明股弦较等 于虚弦和较试作图解 陈寿田 * 图略 如图甲乙丙明句股 卯丙午虚句股试自图心己至切点作己戊线癸午与午戊等丙乙与丙戊 等则丙午虚弦与丙乙午癸和等加卯丙午卯虚句股和得卯乙卯癸和为 虚和和与乙丑等试取丁点令甲丁等于明弦则乙丁为明股弦较夫甲 己与甲午等甲丁甲丙同为明弦以甲己减甲丁得丁己以甲午减甲丙得 丙午为虚弦依显丁己亦为虚弦复取己子令与丁己等则子丑亦为明股 弦较与乙丁必等丁子必为二虚弦以乙丑虚和和减之得乙丁子丑二 之虚弦和较亦即二明股弦较故二明股弦较等于虚弦和较也 虚句弦较等 于句股较试作图解 英铎 * 图略 如图子丑虚句丁戊 弦以子丑与丑戊句相加得子戊为平句以丁戊与地丁股相加得 地戊亦为平句试于子戊平句内减去丁戊弦余必等于地丁弦再于 地丁股内减 [ 丑 戊]句 余即为句股较也 大股内减边弦 等于平句股较试作图解 陈寿田 * 图略 如图戊为圆心甲乙 为大股作丁戊线与丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬为边句股甲丁为边 弦丙丁为平句丙戊平股与丙乙等则丁乙即平句股较以甲乙减甲丁得 丁乙即平较故大股减边弦等于平句股较也 大股内减平句 股较等于边股平句和试作图解 懿善 * 图略 如图甲乙丙大句股 甲己丁边句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己边股丁戊平股己乙等取己 庚如丙戊为平句己乙平股内减己庚平句即庚乙平句股较故甲乙大股 内减庚乙平句股较等于甲己边股加己庚平句 句股和内减 虚股弦较等于弦试作图解 承霖 * 图略 如图庚壬丙为半径 为股之平句股其弦则庚己虚弦己丙弦和其股则庚戊虚股戊壬股 和其股弦较必为虚股弦较股弦较和而丁辛乙辛同为半径则平股弦 较又等句依句股例和较小较相加为句则[虚]虚 股弦较必等弦和较句股和减弦和较 即虚小较故等 于弦 明股句相乘 等于虚句股积试言其理 王宗福 * 图略 如图甲子己大句股 外之丙天丁为虚句股今自圆心作甲己之垂线心地则丙地等丙辰 明句地丁等丁 戊 股天辰内减 天丙虚句余为半虚较和天戊内减天丁虚股余为半虚较较 缘天辰天戊均为半虚和和故 按较较乘较和等于二直 积则明句之半虚较和乘股之半虚较较必等于虚句股积惟明句乘 股原等于句乘明股故明股句相乘等于虚句股积 高股乘平句等 于明股弦和乘句弦和试作图解 胡玉麟 * 图略 如图甲乙丙大句股 乙丁容圆方自心至切点作戊己线正交甲丙则辛己戊为高句股戊己庚 为平句股 以半径为勾半径为股故 己癸等癸寅己子等子丑 则辛己高股为明句弦和己庚平句即为股弦和故明句弦和 高股与句弦 和比若明股弦和与股弦和 平句比 大差句乘小差 句等于虚句乘大股亦等于边股乘倍股试作图解 胡玉麟 * 图略 如图甲乙丙大句股 乙丁容圆方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圆 心至切点作甲丙正交线辛壬则戊壬辛为高句股辛壬癸为平句股 以半径为句半径为股故 壬癸等丙午壬丙即等 丙辰则戊丙底弦减壬丙底句余戊壬等甲庚庚乙原等戊辰则甲乙大股 即为底弦较和又壬己等己未子壬即等子卯作己申线与丙乙平行作子 酉线与丁丑平行则戊申等戊壬申辰即为底弦和较等申辰之己丑亦为 弦和较子酉癸亦为平句股辛未等丁未则未癸为平股弦较未酉即为 平弦和较等未酉之丁子亦为其弦和较夫寅丁全径原为二平股内减丁 子平弦和较则子寅大差句即平弦较和也故平弦较和 大差句与底弦 较和 大股比若平弦 和较 虚句与底弦和 较 小差股比 又壬子等子卯寅亥 等寅卯甲壬即等甲亥则壬癸即为边股弦较壬癸原等癸酉则酉亥即为 边弦和较等酉亥之子寅亦为其弦和较又壬己原等己未丑辰原等丑未 二壬丙即小差三事和内各减己丙小差弦 [ 余 ]二己 壬股即为小差弦和较故边弦和较 大差句与小差 弦和较 [ 二股 ]比若边股与 小差股比 弦和较乘弦和 和等于二直积试作图明其理 汪远焜 * 图略 如图甲乙丙句股形 以弦句为半径各作圆引长乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直线则成 甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股较 本形弦和较与 甲丙 [ 小 股] 本形句 之比若丙壬 丙己内减去等丙戊之己壬即得 大小二句股较和 本形二股与甲 丙丙己大小二股和 本形弦和和之 比故弦和较乘弦和和等于二直积 中垂线乘弦等 于圆径乘半和试作图明其理 贵荣 * 图略 如图甲乙丙句股形 甲壬句弦较癸丙股弦较壬癸为弦和较方 即圆径方依乙丁 中垂线平行作甲午丙己二线次依甲丙平行作戊己线联之则戊丙为中 垂线乘弦移甲乙戊于丙庚辛移丙乙己于甲庚辛戊丙中垂线乘弦必等 于辛乙句股直积除甲癸矩不动外移子癸股弦较乘弦和较于癸丑将 辛寅股弦较乘句弦较改为甲卯弦和较半方则卯丑圆径乘半和 辰丑弦和较即圆径 亦等于辛乙句股直积卯 丑与戊丙既各等句股直积则二矩宜无不等所以中垂线乘弦等于容圆 径乘半和 三事和乘边线 较等于圆径乘边线和试作图明其理 王锺祥 * 图略 如图甲乙丙句股形 乙丁中垂线乙己戊己均为方边自己作乙丁丁丙之垂线己庚己辛成乙 庚己戊辛己二句股形与本句股形同式均以方边为弦则二形必等夫庚 己等己辛亦等庚丁则乙庚己三事和即等于边线和而边线较即等其 弦和较故大三事和与小弦和较 即边线较相乘 等于小三事和 即边线和与大 弦和较 即圆径相未也 句乘弦较较等 于三事和乘股弦较试作图明其理 贵荣 * 图略 如图甲乙丙句股形 以弦为半径作丙戊己丁圆次从丙角作丙丁及丙戊二线成丁乙丙及丙 乙戊大小二同式句股形何则试引长丙乙作丙己线丙己正交丁戊各至 圆界戊己弧等于戊丙弧丁己弧等于丁丙弧小形丙角所当戊己弧与 大形丁角所当戊丙弧等小形戊角所当丁丙弧与大形丙角所当丁己弧 等余二乙角又俱直角所以同式大句 本形句与大句 股和 本形三事和之 比若小句 本形股弦较与 小句股和 本形弦较较之比 句弦和乘弦和 较等于弦较较乘股试作图明其理 贵荣 * 图略 如图甲乙丙句股形 丁乙为弦和较丁戊为其方戊丙为股弦较戊己为其倍乙己为弦较较甲 丁为句弦较甲己矩为弦较较乘股幂除甲戊矩不动外试将庚辛二股弦 较乘句弦较矩改为戊壬弦和较方次移辛己二股弦较乘弦和较矩补 于壬癸成 一甲癸幂其长即句弦和其阔即弦和较 与原积甲己幂必等 倍股乘股弦较 等于弦和较乘弦较较试作图明其理 杜法孟 * 图略 如图甲乙丙句股形 丙子为股弦较丙丁为其方丙戊为句丙己为其方戊子为弦和较戊庚丁 盘折形为弦和较乘弦较较丁辛壬盘折形为倍股乘股弦较二形之积等 试各加一丙丁正方则子辛壬为股弦较乘股弦和丙己为句方其积原 等今各减一丙丁正方其积仍等 句弦较乘倍股 弦和等于弦较和自乘试作图明其理 贵荣 * 图略 如图甲乙丙句股形 依弦作戊丙己半圆甲为圆心从形心作三分角线及三垂线复从丙作丙 戊线成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例 一率小句股较本 形句弦较 二率倍小股本形弦较和 三率大句股较本形弦较和 四率倍大股本形倍股弦和 前 题 李逢春 * 图略 如图甲乙丙为边句 股丁戊己为明句股甲庚己为大差句股戊辛为明句自乘壬癸与边句等 庚壬为明句乘边句之积倍之得丑壬为明句乘边句之倍积必与子辛大 差句自乘等何则因丑辛为同用之积所余子寅寅壬二积亦等因卯寅 为二明句乘虚句寅辰亦为二明句乘虚句卯丑为平弦和较方午壬为平 股弦较乘二平句弦较此二积又等故明句乘倍边句等于大差句自乘也 明句即句 前 题 王文秀 * 图略 如图甲乙丙句股形 以股为半径截弦于丁丁丙为股弦较与丙戊等乙戊为弦和较作己戊方 甲己为句弦较庚己为其倍自庚作直线切辛角而至丙 即弦和较为股弦较二句弦较之中率故必切辛角 成大小二同式形故庚己 小股 即二句弦较与庚 己辛小句股和 即弦较和之比 若庚乙大股 即弦较和与庚 乙丙大句股和 即股弦和之比 弦较边句即股 弦和大差句即弦较和股弦和乘倍句弦较等于弦较和自乘试作图明其 理 汪凤藻 * 图略 如图甲乙丙句股形 甲丙为股乙丁为股弦和乙戊为其方己丁为弦较和己庚方弦较和自乘 也己辛为倍句弦较辛壬长方股弦和乘倍句弦较也曷见己庚辛壬二形 积等乎曰除同用之己癸矩余丁癸 弦和较承弦较和 癸壬 句乘倍句弦较 二长方形试于丁癸形内作庚子方 弦和较自乘于 癸壬形内作癸丑矩 股弦较乘倍句弦较 为等积尚余子丁丑午二 形 同为弦和较乘倍句弦较 又相等即丁癸与癸壬等 矣次每加一己癸矩则己庚方不与辛壬长方等积乎 句弦较乘句弦 和再以句乘之与股乘倍句股积等试作图明其理 杜法孟 * 图略 如图庚己为句子辛 等庚辛为股己戊等己辛为直积即二句股积再以己戊股乘之得辛戊一 立方积子壬为句弦较乙丙等子乙为句弦和壬丙等子丙为句弦和乘句 弦较再以子辛句乘之得辛丙一长立方积与辛戊之积等盖子丙面积 为句弦较乘句弦和子戊面积为股自乘方其面积原等庚己子辛俱为句 其高度又等故二立方之积等 前 题 贵荣 * 图略 如图甲乙丙句股形 甲戊股幂乙丁句乘股直积 即倍句股积并 之得丁戊矩为句股和乘股幂 己丁边句股和 试截乙己大方股幂 即句弦较乘句弦和盖句弦较乘句弦和原等股幂 与乙丁小方倍句股积之 比若甲己大边股与甲丁小边句之比即股乘股与股乘句之比若股与句 比故句乘股幂 [ 即句弦较乘句弦和 ]等于股乘倍 句股积 句股形容长方 有句股较有长阔和有积较求句股及长阔 陈寿田 * 算式略 右开方得句股和加 句股较半之得股减句股较半之得句句股和句股较各自乘相减入归之 为句股积减积较得长方积四因之以减长阔和自乘开平方得长阔较与 长阔和相加半之为长与长阔和相减半之为阔 有直积一百二 十有句股二方较一百六十一求句股弦各若干 联秀 答曰句八股 十五弦十七 * 算式略 开方得八为 句自之加二方较开方得股十五用句股求弦法得弦十七 今有容方容圆 二径和一百三十尺二径较加中垂线九十四尺求边径线各若干 胡玉麟 答曰方边六 十尺圆径七十尺中垂线八十四尺 * 算式略 开方倍之得容圆径 七十尺于甲数内减之余六十尺为方边乙数内减二径较十尺余八十四 尺即中垂线 前 题 王宗福 答曰方边六 十尺圆径七十尺中垂线八十四尺 * 图略 如图甲己辛句股形 卯辰丁午均为 [ 圆 ](图) 径丙庚庚己均为方边己 丁为中垂线自庚作庚子庚癸二垂线成丙庚子己庚癸二同式句股形弦 既等则句股亦等而癸庚等庚子亦等癸丁即己癸庚句股和等中垂线又 自丑作丑寅垂线丑乙半径成乙丑寅句股形与本形同式即亦与丑己 戊同式己丑与丑乙同为半径既等则寅丑等戊己寅乙等戊丑移乙丑于 乙卯移寅卯于戊丁则乙丑寅三事和等于中垂线而乙丑寅弦和较等于 线径较以代数求之有等式 * 算式略 开方得边六十与和 相减余七十为圆径于九十四内减二径较十余八十四为中垂线 城根有河不知 其阔由城楼顶引绳至河之外岸绳长一百九十五尺楼高一百六十九尺 求河宽若干 廷俊 答曰九十七 尺强 * 算式略 有甲乙二物俱 不知价但云甲价之立方三倍等于乙价之平方而乙价之立方等于甲价 之平方八十一倍求甲乙价各若干 王文秀 答曰甲三乙 九 天地二元细草 立天元一为甲价立 地元一为乙价天元自之又以天元乘之又以三乘之得 ●乃以地元自之得●为同数 与左相消得●为今式置天元自之以 八十一乘之得●乃以地元自之又以 地元乘之得●为同数与左相消得 ●为云式以地元乘今式直减云式得 ●为右行与今式之左一行相乘得● 又以今式与右行之左一行相乘得● 二数相消得●为左行置左右 二行以内二行相乘得●相消得 ●外二行相乘得●相消得 ● 开四乘方得甲价 三乃以三自乘再乘又以三乘之得八十一以平方开之即得乙价九 今有甲乙二数 不知多少但知甲之三乘方根等于乙甲乙二数相乘倍之等于四倍乙之 自乘数求甲乙数各若干 赓善 答曰甲十六 乙二 * 算式略 今有人赎质物 本利共钱九千八百五十文只云利钱平方开之得数以加本钱共五千六 百九十文又开方数为日数一百二十五分之十三求本利及日数每十文 月利若干 每月三十日不用小建 王文灏 答曰本五千 六百二十五文利四千二百二十五文日数六百二十五日 * 算式略 今有人赌钱失 本四分之一复得 三两旋失三分之一又得 二两终于失七分之一仅剩十 二两求本银若干 王文灏 答曰二十两 * 算式略 今有富翁有银 九万分与四儿多寡不同但云大儿之银以二除之二儿之银减二千三儿 之银加二千四儿之银以二乘之则皆等求四儿银各若干 塔克什讷 答曰大儿四 万二儿二万二千三儿一万八千四儿一万 * 算式略 今欲造正方台 三座甲台之边多于乙台边七尺乙台之边多于丙台边五尺定造砖见方 五寸共十二万一百八十四枚求三台各高若干 贵荣 答曰甲台高 二丈二尺乙台高一丈五尺丙台高一丈 * 算式略 开方得四四折半得 二丈二尺为甲台高减七尺得一丈五尺为乙台高又减五尺得一丈为丙 台高 大小月每十九 年循环共二百三十五计日六千九百四十求大小月各若干 熊方 答曰大月一 百二十五小月一百一十 法以二百三十五用 月小之二十九日乘之得六千八百一十五日以减六千九百四十余一百 二十五即大月数以大月数减二百三十五余一百一十即小月数更以一 百二十五用三十日乘之得三千七百五十以一百一十用二十九日乘 之得三千一百九十并之恰得六千九百四十合问 欲造一土台上 广二丈长三丈下广二丈三尺长三丈五尺高一丈八尺每日每人程工八 立尺用匠七十二人几日毕工 沈铎 答曰二十一 日又八分日之七 法以上长三丈倍之 得六丈加下长三丈五尺共九丈五尺以上广二丈乘之得一九0 0尺另倍下长得七丈加上长三丈共得十丈以下广二丈三尺乘 之得二三00尺以两数相并得四二0 0尺以一丈八尺乘之得七五六00尺 以六除之得一二六00为实以七十二 人乘每日每人程工八立尺得五七六为法除之得二十一日又八分日之 七 今有塔系石砖 木造成全高三分之一为石四分之一为砖六分之一为木但知瓦顶三丈 六求塔高若干 彦慧 答曰十四丈 四尺 * 算式略 法以三分之一展为 六分之二加六分之一得六分之三收为四分之二加四分之一得四分之 三为石砖木之高则瓦顶三丈六自必为四分之一以四倍三丈六得十四 丈四尺即塔高 今有长方营盘 南北一百八十丈东西一百二十丈四面濠沟与营盘同积求濠沟宽若 干 联芳 答曰三十丈 * 算式略 某火药局藏硝 炭磺不知各若干斤亦不知共若干斤但云于其共重之半加二千五百斤 为硝于其共重之四分之一减一千斤为炭于其共重十分之二减一千斤 为磺试推其共重若干斤 朱格仁 答曰一万斤 * 算式略 制球形炸径 一尺二寸厚三寸求需铁若干 李逢春 答曰五千三 百零三两三钱强 先求大球积 一率定率立方积一000000 000 二率定率球积五二三五九八七七五 三率今有立方积一七二八 四率今求大球积九0四 又七七八六八三三0八 次求小球积 一率定率立方积一000000 000 二率定率球积五二三五九八七七五 三率今有立方积二二六 四率今求小球积一二三 又0八0三 三五四00 既得大小二球相减 余七九一六九一三四七九00以方寸 铁重六两 七钱乘之得五千三百零三两 三钱强即所求 今有马二匹鞍 一副值银二十两加于此马则与彼马价等加于彼马则与此马价相倍求 马价各若干 贵荣 答曰此马价 值四十两彼马价值六十两 * 算式略 有某问渔者得 鱼若干对曰以鱼数自乘加十三开平方以十二乘之以四减之其数为八 十试推鱼数 辛泽贤 答曰六鱼 * 算式略 今有钱不知数 欲匀分于若干人每人十二文多十二文每人十四文少十四文求人数钱 数各若干 博勒洪武 答曰人数十 三钱数一百六十八法以天代钱数以地代人数得方程式 * 算式略 今有卖柑者云 我果共值钱一万六千四百六十四文每果值钱倍于筐数每筐盛果三倍 于筐数求筐果各若干 王镇贤 答曰筐十四 只果五百八十八枚 * 算式略 设一达官有侍 姬八人每日令二人待饮周而复始每周不得二人两次同班求钱日一周 每人每周值班几日 博勒洪武 答曰一周二 十八日每人每周值班七日 法以八减去一得七 为高以八乘之得五十六折半得二十八即一周日数再题言每周不得二 人两次同班则八减一得七即每周每人值班日数 有船载男妇小 儿九十人男较妇多四小儿较男妇多十求各数若干 联第 答曰男二十 二名妇十八名小儿五十名 法以男妇小儿九十 名内减十小儿余八十折半得四十内减四男余三十六折半得十八即妇 人共数加四男得二十二即男人共数男妇二数相并得四十再加十小儿 得五十即小儿共数 今有桃梅李三 果只云三桃比二梅二李价多二十四文二桃三李比五梅价少十二文四 桃三梅比八李价多一百零八文求三果价各若干 时南化 答曰桃价四 十八文梅价三十六文李价二十四文 * 算式略 问乡人种地若 干曰若以亩数加四开平方复加原数得二十六求原数若干 庆全 答曰二十一 * 算式略 试将甲乙二数 之和与甲乙二数之较以代数自乘 长秀 * 算式略 今有绍酒三 高梁酒四共银二十 六两绍酒四高梁酒三共银二十 七两又十二分两之一求二酒每银若 干 联兴 答曰绍酒每 四两又三分两之一高梁酒每三两又四分两之一 * 算式略 有甲乙二人各 买油五斤合盛一大瓶内回家欲分之既无秤又无量只有二小瓶一七斤 而满一三斤而满用以量而分之其法若何 王锺祥 法先以大瓶之油用 三斤瓶灌出二瓶俱倾入七斤瓶内次复用三斤瓶从大瓶灌出一瓶即以 三斤瓶内之油将七斤之瓶续满则三斤瓶内必余二斤乃以七斤仍还入 大瓶以三斤瓶内所余之二斤倾入七斤一瓶内 [ 末 ]以大 瓶内所余八斤之油再以三斤之瓶灌出一瓶亦倾入七斤瓶内则七斤瓶 内合前所余之二斤为五斤大瓶内亦余五 [ 斤 ] 今有将军以实 体方形摆队或问每队兵数曰若于二十五万内减全营兵数余开方复以 一队兵数乘之为十二万求每队兵数若干 杨兆鋆 答曰三百 * 算式略 有句三股四句 股欲于股上取一点悬之令弦平于地平其法若何 席淦 * 图略 如图先求句股积之 重心甲自甲作弦正交线丙乙悬于丙即弦合地平求丙戊线法以戊丁戊 己方倍之相并减丁己方四除之开方得戊庚四二七自庚作庚辛垂线求 得戊辛大分边四一戊庚与辛戊若戊甲与乙戊二七三又丁戊与己戊 若乙戊与丙戊三四一 前 题 杨兆鋆 * 图略 如图甲乙丙句股形 取甲乙句三分之一于丁乙丙股三分之一于戊各作线己丁庚戊交点心 即句股面重心因庚戊过心点正交乙丙己丁过心点正交甲乙故取庚己 二点悬之股与句必皆平于地平又因丁己为句三分之一乙戊为股三 分之一故己丙甲庚必均为弦三分之一